Diagonalización de operadores en Mecánica Cuántica

Dejar H sea ​​un espacio de Hilbert. Considere un operador unitario arbitrario y no diagonal O : H → H que actúa sobre un estado cuántico inicial | ψ 0 ⟩ ∈ H produciendo un nuevo estado cuántico

| ψ ⟩ = O | ψ 0 ⟩ .
Ahora, suponga que ya sea O es fácilmente diagonalizable o que alguien puede diagonalizarlo eficientemente por nosotros. Dejar O ′ sea ​​la diagonilización de O .

Ahora, quiero entender qué sucede cuando mido el valor esperado de este observable en cualquier base de O . Es decir, quiero entender bajo qué condiciones

⟨ O ⟩ = ⟨ ψ 0 | O | ψ 0 ⟩ = ⟨ ψ | O | ψ ⟩ = ⟨ O ′ ⟩ .
Además, me interesa entender si, dado un segundo operador unitario H , igualdad de los valores esperados ⟨ O ⟩ = ⟨ O ′ ⟩ significa que también
⟨ H O ⟩ = ⟨ H O ′ ⟩ .

Su operador unitario es O = Exp ⁡ ( i METRO ) para M hermitian, por lo tanto METRO = tu norte tu − 1 para N diagonal. Entonces O = tu O ′ tu − 1 . Ahora puede comparar los elementos de matriz respectivos. ¿Qué concluyes?
Bueno, como se analiza también en la respuesta a continuación, concluyo que la diagonalización es equivalente a transformar el estado original como | ψ ⟩ → tu − 1 | ψ ⟩ . Entonces, como él dice, es un cambio de base. Ingenuamente, esto es equivalente a una transformación de calibre (no observable como siempre). Mis preguntas esencialmente se reducen a si existen excepciones a esto.
Pero entiendes que este cambio de base no está incluido en el valor esperado que escribiste, un mero elemento de matriz, ¿verdad?
Seguro. Totalmente entendido.

Respuestas (1)

Diagonalizar un operador significa simplemente cambiar la base que está utilizando en el espacio de Hilbert. Esencialmente, la idea es que en lugar de escribir, por ejemplo, los estados como

| ψ ⟩ = a | + ⟩ + b | − ⟩ ,
tu escribirias
| ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ ,
de modo que la expresión de la acción de O seria mas sencillo Es decir, podría tener, por ejemplo,
O | ψ ⟩ = α O | 0 ⟩ + β O | 1 ⟩ = β | 1 ⟩ ,
donde supuse O | 0 ⟩ = 0 y O | 1 ⟩ = | 1 ⟩ sólo por el bien de un ejemplo.

En resumen, el operador no cambia. Sus elementos de matriz (los números ⟨ norte | O | metro ⟩ , dónde { | norte ⟩ } es la base elegida) cambian, pero O en sí mismo es un operador abstracto que no depende de la base.

Gracias. Esencialmente, lo que estoy preguntando es si hay excepciones a esto. Estás diciendo algo muy fundamental, el valor esperado de lo observable no depende de la base con la que lo midas. Me pregunto, ¿hay posibles excepciones? Por ejemplo, algunas personas discuten a veces una relajación de la unitaridad.
@Marion No hay excepciones, el valor esperado es independiente de la base. Una forma de notar esto es porque la acción de un operador en un estado es algo definido de manera abstracta, sin ninguna mención a una elección de base (usted escribió | ψ ⟩ = O | ψ 0 ⟩ , por ejemplo, sin nunca elegir una base), y también lo es el producto interno. Un cambio de base nunca cambia el operador, solo sus elementos de la matriz, por lo que los valores esperados siguen siendo todos los mismos.
Muchas gracias. Esto fue útil.
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