¿Por qué las transformaciones de Galileo se escriben así en Mecánica Cuántica?

Tenga en cuenta que en primer lugar, en una transformación de Galileo, de$S$a$S'$, una partícula de momento constante tendrá su energía diferente en$S'$que$S$porque la energía cinética es proporcional a la velocidad al cuadrado. Sabemos que las funciones de onda (en un potencial independiente del tiempo) oscilan como

$$e^{-i\dfrac E\hbar t}$$ así que tenemos que tener esto en cuenta cuando miramos en nuestros diferentes marcos.

Apliquemos estos resultados. Lo que encontraremos que explica este cambio en el impulso le da el término que lo confunde, y el cambio en la energía le da el término que sospecha que sería la respuesta.

Considere una partícula en$S$con impulso$\vec p$y masa$m$. su función de onda$\psi$es entonces

$$\psi = e^{i\left(\dfrac{\vec p \cdot \vec x}{\hbar} - \dfrac{p^2}{2m\hbar}t\right)}$$

En$S'$, con velocidad$\vec v_0$, su impulso va a$\vec p' = \vec p - m \vec v_0$, y así mismo sus cambios de energía.$E' = \frac{(p')^2}{2m}$, por lo que encontramos que

$$E' = E - \vec p \cdot \vec v_0 + \frac 12 m v_0^2$$

Dado que la función de onda debe tener una forma similar a la de$S'$,

$$\psi' = e^{i\left(\dfrac{\vec p' \cdot \vec x}{\hbar} - \dfrac{E'}{\hbar}t\right)}$$

Conectando estos nuevos valores de energías y momento produce esta forma,

$$\psi' = e^{i\left(\dfrac{\vec p \cdot \vec x}{\hbar} - \dfrac{m\vec v_0\cdot \vec x}{\hbar}-\dfrac{Et}{\hbar} + \dfrac{\vec p \cdot \vec v_0}{\hbar}\right)} e^{-i\dfrac {m v_0^2t}{2\hbar} }$$

descartamos el último término porque es invariante con respecto al impulso. Es solo una fase global global (si hay un solo tipo de masa). Reorganizar nos lleva a encontrar que,

$$\psi' = e^{i\dfrac{\vec p \cdot \vec v_0 t}{\hbar}}e^{-i \dfrac{m\vec v_0\cdot \vec x}{\hbar}}\psi$$

Esta es exactamente la transformación que afirmas que es la transformación de Galileo. reemplazando$\vec p$con un operador da,

$$\psi' = \hat G \psi$$

dónde$\hat G = e^{i\dfrac{\vec p \cdot \vec v_0 t}{\hbar}}e^{-i \dfrac{m\vec v_0\cdot \vec x}{\hbar}}$Dado que los estados de impulso son una base completa, esto es válido para cualquier superposición de estados de impulso. Entonces, en general, es cierto, y hemos derivado$\hat G$. Es debido al cambio de energía y momento en diferentes marcos.

Es sencillo verificar que OP's eq. (2) de hecho genera transformaciones de Galileo. Más bien parece que OP está preguntando

¿Cómo derivar la fórmula (2) a partir de los primeros principios?

Derivación esbozada de la fórmula (2):

1. Consideremos primero la teoría clásica. El Lagrangiano hamiltoniano para una partícula libre no relativista es

   $$\begin{align} L_H~=~&\sum_{k=1}^3p_k\dot{x}^k-H, \cr H~:=~ & \frac{1}{2m}\sum_{k=1}^3p_k p_k.\end{align}\tag{A}$$

2. Demostrar que una transformación galileana infinitesimal

   $$\begin{align}\delta x^k~=~&t ~\delta v^k, \cr \delta p^k~=~&m ~\delta v^k, \cr \delta t~=~&0,\end{align}\tag{B}$$ es una cuasi-simetría $$\delta L_H ~=~\frac{d}{dt}\sum_{k=1}^3m x_k~\delta v^k \tag{C}$$ para el hamiltoniano lagrangiano (A). [Con respecto a la cuasi-simetría, el lector también puede disfrutar leyendo esta publicación relacionada con Phys.SE.]

3. Use el teorema de Noether para encontrar la carga completa de Noether correspondiente

   $$Q_k~=~ tp_k - m x_k.\tag{D}$$ [El primer término$tp_k$es la carga desnuda de Noether, mientras que el segundo término$m x_k$proviene de la rhs. de la ec. (C).]

4. Como verificación, tenga en cuenta que la carga de Noether (D) genera la transformación galileana infinitesimal (B),

   $$\delta ~=~\sum_{k=1}^3 \{~\cdot~ , Q_k\} ~\delta v^k ,\tag{E}$$ como debe ser, cf. mi respuesta Phys.SE aquí .

5. Utilice el principio de correspondencia entre la física clásica y la cuántica para deducir que

   $$\delta ~=~ \sum_{k=1}^3\frac{1}{i\hbar}[~\cdot~ , \hat{Q}_k] ~\delta v^k, \tag{F}$$ dónde $$\hat{Q}_k~=~ t\hat{p}_k - m \hat{x}_k.\tag{G}$$ es el operador de carga de Noether.

6. Use argumentos estándar para integrar la transformación galileana infinitesimal (F) en una transformación galileana finita para lograr la fórmula buscada de OP (2).$\Box$