¿Cuál es el efecto de apretar la representación del espacio de fase de Husimi o la función Q?

El efecto del operador de compresión

$$\begin{equation} S = e^{- r (a^2 + a^{\dagger 2}) / 2} \end{equation}$$ en una representación de espacio de fase de Wigner o función W de un sistema con matriz de densidad $\rho$ $$\begin{equation} W(x, p) = \frac{1}{\pi \hbar} \int_{\mathbb{R}} dy e^{- 2 i p y / \hbar} \langle x + y | \rho | x - y \rangle \end{equation}$$ es $$\begin{equation} S \circ W(x, p) = W(x e^r, p e^{-r}) \end{equation}$$ (Estoy usando la convención de que $x = 2^{-1/2} (a + a^{\dagger})$y $p = - i 2^{-1/2} (a - a^{\dagger})$). ¿Existe una relación simple para el efecto del operador de compresión en la representación del espacio de fase de Husimi o la función Q? $$\begin{equation} Q(x, p) = \frac{2}{\pi} \int_{\mathbb{R}^2} du dv e^{- 2 (x - u)^2 - 2 (p - v)^2} W(u, v) , \end{equation}$$ es decir, $$\begin{equation} S \circ Q(x, p) = ? \end{equation}$$ De manera más general, también me gustaría saber si existe una relación simple para el efecto de exprimir en una representación de espacio de fase generalizada o función R (a veces también llamada $s$-función W parametrizada) $$\begin{equation} R(x, p, \tau) = \frac{1}{\pi \tau} \int_{\mathbb{R}} du dv e^{- \tau^{-1} (x - u)^2 - \tau^{-1} (p - v)^2} P(u, v) \end{equation}$$ dónde $P(x, p)$es la representación del espacio de fase de Glauber-Sudarshan o función P. $P(x, p)$satisface $$\begin{equation} \rho = \int_{\mathbb{C}} d\alpha P(\alpha) |\alpha\rangle \langle \alpha | \end{equation}$$ dónde $|\alpha\rangle$son los estados coherentes de $a$. La razón por la que pregunto es que he desarrollado algunos algoritmos numéricos que calculan una representación de espacio de fase generalizada para ciertos estados con mucha precisión y ahora me gustaría ver el efecto de la compresión, preferiblemente sin tener que realizar una integración numérica, etc.