¿Por qué la no conmutatividad en mecánica cuántica requiere que usemos espacios de Hilbert?

Entiendo la definición de un espacio de Hilbert. Pero no entiendo por qué la no conmutatividad nos obliga a utilizar los espacios de Hilbert.

No es así, pero eso no es lo que dice Scrinzi.

La razón es que no es así porque podríamos trabajar, por ejemplo, en la representación de cuasiprobabilidad de Wigner :

Tenga en cuenta que$W(x,p)$es una función real que es como una distribución de probabilidad conjunta sobre el espacio de fases, excepto que se permite que sea negativa. El principio de incertidumbre requiere que renunciemos a algo, pero en realidad no nos impone espacios de Hilbert.

Sin embargo , lo que dice Scrinzi son dos cosas: (a) los espacios de Hilbert son muy convenientes para nosotros en la mecánica cuántica, y (b) los espacios de Hilbert podrían usarse en la mecánica clásica, pero debido a que la no conmutatividad no existe en la mecánica clásica, es "exceso" allí, mientras que es "la cantidad justa de muerte" en la mecánica cuántica. Ambas afirmaciones son correctas.

La razón por la que podemos haber usado espacios de Hilbert en la mecánica clásica es porque pueden representar álgebras muy generales de observables, mientras que el álgebra clásica de observables, al ser conmutativa, es en realidad más simple. (Cf. el teorema de Gel'fand-Naimark para$C^*$-álgebras en particular.)

La formulación espacial de Hilbert de la mecánica clásica fue realizada por Koopman y von Neumann en 1931-1932. Pero lo que realmente hace su formulación es generalizar la mecánica clásica a menos que uno imponga una restricción artificial de que solo se le permite medir observables en algún conjunto mutuamente conmutativo; sólo entonces se recupera exactamente la mecánica clásica (en el sentido del siglo XIX).

Es esa restricción artificial la que levanta la mecánica cuántica. Físicamente, los observables de no conmutatividad corresponden a un principio de incertidumbre entre ellos.

Para obtener una descripción general y breve del marco matemático de la mecánica cuántica, consulte esta respuesta. En pocas palabras, los espacios de Hilbert surgen de la teoría de la representación de C*-álgebras, que se postulan como el objeto matemático relevante que describe una teoría cuántica (porque contiene observables en su parte autoadjunta y estados como elementos especiales de su parte). dual topológico).

Para motivar aún más la no conmutatividad, considere los siguientes hechos. La primera es que cualquier C*-álgebra conmutativa (unital), por un teorema de Gelfand y Naimark, es isomorfa a$C(X)$, es decir, el C*-álgebra de funciones continuas sobre el espacio compacto de Hausdorff$X$, con norma uniforme. Tal espacio topológico puede entonces interpretarse como el espacio de fase habitual de la mecánica hamiltoniana clásica.

Una motivación más profunda surge del principio de incertidumbre de Heisenberg. Se sabe que, si tiene dos observables incompatibles (es decir, mediciones que influyen mutuamente en sus resultados), entonces no se pueden medir simultáneamente con precisión arbitraria, y una forma de reproducir esto es postular que tales observables, digamos$A$y$B$, satisface la relación

Otro fenómeno puramente cuántico es el de la interferencia., como el experimentado en el experimento de la doble rendija, y esto nunca ocurre si el C*-álgebra de observables es conmutativo. Por lo tanto, debe haber un sector de superselección que sea al menos bidimensional y, por lo tanto, una representación irreducible del álgebra C* del sistema mecánico cuántico que no sea unidimensional. Porque si este no es el caso, uno puede tomar la suma directa de todas las representaciones GNS de estados puros, que son irreducibles y, por lo tanto, unidimensionales por hipótesis. La imagen de tal representación es fiel y claramente conmutativa, y esto obliga a que el álgebra C* también sea conmutativa (recuerde que un álgebra C* es conmutativa si y solo si todas sus representaciones irreducibles son unidimensionales). Entonces, el espacio de Hilbert relevante para la mecánica clásica es simplemente$\mathbb C$, mientras que para la mecánica cuántica se necesita al menos$\mathbb C^2$y una subálgebra cerrada irreducible de la$2\times2$matrices$M_2(\mathbb C)$.

Una de las razones podría ser que si la posición ($x$) y el impulso ($p$) eran operadores en un espacio de dimensión finita su conmutador$[x,p]$siempre tendría traza cero. Entonces, para tener la relación de Heisenberg, necesitamos operadores (ilimitados) en un espacio dimensional infinito. :)