¿Todo observable es una función de la posición y el momento?

En la primera respuesta de esta pregunta se dice que todo observable cuántico, digamos A ^ , se puede representar como una función de los observables de posición y momento. En otras palabras, según tengo entendido, si H es el espacio de Hilbert atravesado por autos de posición, entonces cada observable podría representarse como:

A ^ = A ^ ( X ^ , pags ^ )
Pero, ¿cuáles son las razones matemáticas (¿o físicas?) para que esto sea cierto?

Suponiendo que esto sea cierto, ¿qué sucede si consideramos la parte de espín del espacio de Hilbert? ¿Aparecerá otro par de operadores? ( s 1 ^ , s 2 ^ ) tal que cada observable en el espacio de espín se puede representar como funciones de ( s 1 ^ , s 2 ^ ) ?

Sé que son muchas preguntas, pero me interesa principalmente la primera. ¡Gracias!

El giro no es una función de la posición y los momentos.
Sí, pero el giro es una función de la posición, el impulso y el giro .
Sí, entendí mal la división entre los dos espacios. Ahora sugiero no dividir en dos espacios, sino dos opciones: con o sin giro. Si hay espín en nuestro espacio también existen observables que son funciones de posición, momento y espín.
Creo que OP está haciendo una pregunta válida: ¿Todos los observables en el espacio de Hilbert están abarcados por | X ⟩ una función de X ^ y pags ^ . Creo que la respuesta es "sí para todos los propósitos prácticos", pero no sé una prueba.
En la práctica, ¿qué A ( X , pags ) hay más allá de lo trivial X y pags , y luego el hamiltoniano? Para este último, proviene de la receta de cuantificación y del hecho trivial de que para un sistema clásico, el sistema hamiltoniano es, por definición, función de X y pags (no los operadores esta vez).
LucJ.Bourhis: Momento angular orbital, por ejemplo. Volviendo a la pregunta en el OP, desearía poder dar una explicación agradable y altamente sofisticada en términos de elementos centrales de las álgebras de von Neumann o Jordan, pero esta no es un área cómoda para mí. Quizás @V.Moretti pueda ayudar. Es un maestro aquí.
El término "el espacio de Hilbert atravesado por |x⟩" es engañoso ya que todos los espacios de Hilbert de dimensión infinita separables son isomorfos. Entonces, incluso si la respuesta fuera "sí", esto no sería útil.
Parte del problema lo aborda la respuesta de @ACuriousMind: es muy difícil concebir observables que no estén relacionados de alguna manera con las funciones clásicas de X y pags . Después de todo, nuestra intuición comienza con la mecánica clásica.

Respuestas (2)

  1. En la física clásica , la definición de un observable es que es una función (razonablemente suave) de posición y momento. Por lo tanto, los sistemas cuánticos obtenidos puramente por cuantización de un sistema clásico también tienen que todos sus observables son funciones de posición y momento.

  2. En física cuántica , un observable es solo un operador designado para pertenecer al "álgebra de observables". No hay una razón a priori para tener operadores de posición e impulso y, de hecho, los sistemas con espacios de estado de dimensión finita (como qubits u otros sistemas sin un grado de libertad posicional) no tienen un operador de posición o impulso para empezar. porque la RCC [ X , pags ] = i ℏ no puede sostenerse en un espacio de dimensión finita.

  3. En la teoría cuántica relativista de campos (que es un tipo de teoría cuántica, al fin y al cabo), no hay operadores de posición, los más cercanos son los llamados operadores de Newton-Wigner, así que la pregunta se disuelve porque ya no tiene sentido. Además, el operador de cantidad de movimiento es una función de los operadores de campo, pero no viceversa: no puede restaurar el campo solo a partir del operador de cantidad de movimiento total, como no puede restaurar una función a partir del valor de una integral definida.

No creo que esto responda la pregunta si lees más allá del título. OP no pregunta si cada observable es una función de X y pags en cada espacio de Hilbert (como dices, no hay razón para tener X y pags en un espacio de Hilbert arbitrario). La forma en que entiendo la pregunta es: Toma H = L 2 ( R ) con las definiciones usuales de X y pags y deja A ser un operador autoadjunto en H . ¿Bajo qué condiciones / En qué sentido puede A expresarse como una función de X y pags ? (Estoy siendo insistente porque en realidad me gustaría ver una buena respuesta, y probablemente puedas darla :))
@Noiralef La respuesta a eso es no, no todos los operadores autoadjuntos en L 2 ( R ) son funciones de multiplicación y diferenciación. Toma cualquier base de Hilbert v i de ese espacio y definir v i ↦ { v i , i  incluso 2 v i , i  extraño . Este operador es diagonal en esta base y, por lo tanto, es autoadjunto acotado, pero no es un múltiplo de la identidad ni se puede construir a partir de lo ilimitado. X y pags , al menos no de ninguna manera que pueda ver.

Ok, tal vez esto sea una prueba; no está completo, pero casi.

En la mecánica cuántica, cada operador autoadjunto es un observable, y también el proyector en los estados propios de posición | X ⟩ ⟨ X ′ | . Además, si piensas en los operadores de X ^ base puede representar cada uno con sus elementos de matriz en esta base (es un mapeo biyectivo), es decir: todos los operadores son descomponibles en una suma (suma continua → una integral) de proyectores:

A ^ = ∫ d X   d X ′ α ( X , X ′ ) | X ′ ⟩ ⟨ X |

Así que ahora tratamos de construir todos los proyectores en términos de X ^ y pags ^ operadores.

Restrinja el caso a una partícula en una dimensión para que tenga un operador de posición y un operador de momento (para facilitar, pero es general).

Elementos diagonales

Para el proyector diagonal podemos considerar al operador C   d ( X ^ − X ) , con C una constante de normalización. Yo afirmo que:

C   d ( X ^ − X ) = | X ⟩ ⟨ X |

si podemos elegir esa constante C de la manera correcta para "normalizar" la función delta (puede probar que, además de la normalización, las ecuaciones anteriores son verdaderas aplicándolas a los estados propios de posición). De esta forma se encuentran todos los elementos de la diagonal.

Elementos fuera de la diagonal (operador de momento)

Para los elementos fuera de la diagonal | X ′ ⟩ ⟨ X |   , X ≠ X ′ no podemos usar el único X ^ , porque solo tiene elementos diagonales pero buscando los elementos de la matriz de pags ^ encontramos:

⟨ X ′ | pags ^ | α ⟩ = − i ℏ ∂ ∂ X ′ ⟨ X ′ | α ⟩

e imponente | α ⟩ = | X ⟩ obtenemos:

⟨ X ′ | pags ^ | X ⟩ = − i ℏ ∂ ∂ X ′ ⟨ X ′ | X ⟩ = − i ℏ ∂ ∂ X ′ d ( X − X ′ )

que, si interpretamos el delta como una función (que es nula en todo el punto pero 0 ), significa que no hay elementos diagonales para pags ^ , pero esto no me suena (porque si es cierto conmuta con X ^ , y esto no lo es).

En este punto sugiero:

Operador genérico

Como no puedo encontrar una respuesta unívoca en el punto anterior, procedo con una prueba de dos ramas:

  • pags ^ tiene solo elementos diagonales:

Este caso es claramente falso, como digo anteriormente, sigo así para encontrar otro absurdum.

Así que si tienes un operador A ^ y suponemos que es una función sólo de X ^ y pags ^ podemos desarrollar en serie de Taylor:

A ^ = A ( X ^ , pags ^ ) = ∑ A α , β   X ^ α   pags ^ β

podemos hacer esto, porque incluso si X ^ y pags ^ no conmutar su conmutador es un escalar, por lo que si tenemos un término mixto X ^ pags ^ X ^ … podemos reordenarla encontrando un término con el mismo número de operadores y otros términos con menos operadores (de menor "orden", es decir con menor número de operadores), y podemos repetir este algoritmo para obtener una serie con solo "ordenados" términos, como el que hemos escrito más arriba.

Ahora bien, si calculamos los elementos de la matriz de A ^ encontramos:

⟨ X ′ | A | X ⟩ = ∑ A α , β   ⟨ X ′ | X ^ α   pags ^ β | X ⟩ = ∫ d X ″ ∑ A α , β   ⟨ X ′ | X ^ α | X ″ ⟩ ⟨ X ″ | pags ^ β | X ⟩ = = ∑ A α , β ∫ d X ″   X ′ α   d ( X ″ − X ′ ) ⟨ X ″ | pags ^ β | X ⟩ = ∑ A α , β X ′ α   ⟨ X ′ | pags ^ β | X ⟩

Pero si pags ^ no tiene elementos fuera de la diagonal, esto demuestra que también A ^ no puede tener elementos diagonales, por lo que el número de operadores que se pueden escribir en función de X ^ y pags ^ se limitan a los operadores diagonales en base a su posición, es decir aquel que conmuta con X ^ .

Esto es un absurdo , y demostramos una vez más que pags ^ tiene que tener elementos diagonales en la representación de posición.

  • pags ^ tiene elementos fuera de la diagonal:

ese es el único caso realista.

Entonces puedo escribir la expresión de pags ^ en cuanto a los proyectores de posición, y puedo seleccionar solo uno de ellos de forma similar a la anterior:

d ( X ^ − X ′ ) pags ^ d ( X ^ − X ) = d ( X ^ − X ′ ) ( ∫ d y   d y ′   a ( y , y ′ )   | y ′ ⟩ ⟨ y | ) d ( X ^ − X ) = = ∫ d y   d y ′   a ( y , y ′ )   [ d ( X ^ − X ′ ) | y ′ ⟩ ] [ ⟨ y | d ( X ^ − X ) ] = = ∫ d y   d y ′   a ( y , y ′ )   d ( y ′ − X ′ ) | y ′ ⟩ ⟨ y | d ( y − X ) = a ( X , X ′ ) | X ′ ⟩ ⟨ X |

así con los operadores d ( X ^ − X ′ ) pags ^ d ( X ^ − X ) podemos aislar todos los elementos fuera de la diagonal presentes en pags ^ .

Conclusión

La última parte de la prueba es mostrar que pags ^ operadores contiene todos los elementos fuera de la diagonal; Te doy un intento, pero es un poco descuidado (y tal vez la afirmación sea falsa, pero no encuentro literatura al respecto, así que haré otra pregunta sobre este punto):

  • pags ^ tiene al menos un elemento fuera de la diagonal, de lo contrario conmuta con X ^ y no lo es;
  • pags ^ es invariante bajo traducciones de referencia (piense en sus estados propios ⟨ X | pags ⟩ = φ pags ( X ) = mi X pags ( i X pags ℏ ) ), por lo que los elementos de la matriz dependen solo de la "distancia" X − X ′ (y es signo, porque tiene que ser hermitiano)
  • bajo transformaciones de escala de posiciones pags ^ → λ pags ^ (Piense de nuevo en la acción en sus estados propios)

por lo tanto, si un elemento no es nulo, los demás también deben ser no nulos, porque su distancia se puede reducir a la de los elementos no nulos con una transformación de escala. Así que todos los elementos fuera de la diagonal de pags ^ no son nulos, y puedo extraerlos para construir los proyectores fuera de diagonal.

Como he construido todos los proyectores con solo X ^ y pags ^ ahora puedo construir todos los operadores como suma, dependiendo solo de esos dos operadores.

1. "En la mecánica cuántica, cada operador autoadjunto es un observable" . Esto no es cierto. Todos los observables son autoadjuntos, pero no todos los operadores autoadjuntos deben corresponder a un observable. 2. Los "estados" | X ⟩ no existen dentro del espacio de Hilbert ya que no son normalizables, por lo tanto, los operadores | X ⟩ ⟨ X | tampoco existen realmente en el espacio de Hilbert. Las pruebas que involucran a estas entidades dudosas deben llevarse a cabo con mucho cuidado.
3. d ( X ^ − X ) no tiene sentido: puede usar el cálculo funcional para aplicar cualquier función medible a un operador, pero d no es una función. Debe definir cuidadosamente lo que quiere decir con esto si desea utilizarlo. 4. En el caso de dimensión infinita, no existe una correspondencia directa entre las "representaciones de matriz" y los operadores. Los operadores que tienen representaciones matriciales razonables son los operadores de Hilbert-Schmidt y la posición y el momento no se encuentran entre ellos.
@ACuriousMind Para el punto 3. la respuesta es fácil: en lugar de d considerar la función F ( X ) = { 1 X = 0 0 X ≠ 0
@ACuriousMind Para el punto 4. Respondo con una pregunta: dos operadores iguales tienen los mismos elementos de matriz (es trivial), lo que dices es que incluso si tienen los mismos elementos de matriz podrían ser diferentes, pero ¿puedes mostrar un ejemplo? ¿de esta? Tal vez tengas razón, pero para mí no es baladí
@ACuriousMind Tengo un mejor argumento para el punto 3.: si aproximo delta con suavizantes analíticos , obtengo una familia de operadores regulares (lo otorga la analicidad porque puedo definirlos con una expansión en serie) y luego tomo el límite de operadores. Tal vez sea algo incorrecto (completitud del espacio de los operadores, expansión de la serie no convergente, ...), ¿pueden ayudarme a entender?
No puedes tomar el límite porque el espacio en el que viven estos operadores no tiene una norma obvia y no es un espacio de Banach. El espacio de operadores acotados en un espacio de Hilbert es un espacio de Banach con la norma del operador, pero X y pags no son operadores acotados, y los | X ⟩ ⟨ X | ni siquiera vive en un espacio de Hilbert, por lo que la noción de "límite" debe definirse nuevamente. En cuanto a la matriz, si su operador solo está definido en un subconjunto denso, como lo están los operadores ilimitados, entonces es posible que no pueda obtener elementos de la matriz porque algunos vectores básicos no están en el dominio de la definición.
¿Todo observable es una función de la posición y el momento?
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