¿Por qué cualquier operador es especificado por esta función característica?

La función característica, o generadora, en los sistemas mecánicos cuánticos es la generalización no conmutativa del concepto correspondiente de probabilidad clásica.

Consideremos la siguiente situación clásica (esto se puede generalizar de muchas maneras, pero es conveniente ceñirse a un ejemplo simple aquí). Dejar$\mu$ser una probabilidad (medida) que actúa sobre un espacio vectorial real de dimensión finita$V$. Su función característica, o transformada de Fourier,$\hat{\mu}$se define como una función de la doble$V'$de$V$a los números complejos como sigue: para todos$\omega\in V'$,

$$\hat{\mu}(\omega)=\int_V e^{i\omega(v)}\mathrm{d}\mu(v)\; .$$

La función$\hat{\mu}(\cdot)$tiene las siguientes propiedades: es continua,$\hat{\mu}(0)=\mu(V)=1$, y es definida positivamente: para cualquier$N\in\mathbb{N}$,$\{\alpha_i\}_{i=1}^N\subset \mathbb{C}$, y$\{\omega_i\}_{i=1}^N\subset V'$

$$\sum_{i,j=1}^N \alpha_i\bar{\alpha}_j \hat{\mu}(\omega_i-\omega_j)\geq 0\; .$$

El teorema de Bochner en realidad nos dice que

Existe una biyección entre las probabilidades de$V$y funciones continuas en$V'$que son positivos-definidos y tienen valor uno en cero; tal biyección es exactamente la transformada de Fourier.

Por lo tanto, la transformada de Fourier identifica de forma única (caracteriza) una probabilidad.

En la mecánica cuántica, existe un resultado no conmutativo perfectamente análogo . Consideremos el álgebra de las relaciones canónicas de conmutación construidas sobre el espacio simpléctico real de dimensión finita$(S,\sigma)$. Es bien sabido que$(S,\sigma)\cong (\mathbb{R}^{2d},\omega)\cong (\mathbb{C}^d_{\mathbb{R}},\Im \langle \cdot,\cdot\rangle)$, dónde$\omega$es la forma simpléctica estándar,$\langle \cdot,\cdot\rangle$el producto escalar complejo, y$\mathbb{C}^d_{\mathbb{R}}$es el espacio$\mathbb{C}^d$considerado como un espacio vectorial real. En otras palabras, es posible ver las variables sobre las que se construye el álgebra de relaciones canónicas de conmutación como posición y momento$(q',p')\in \mathbb{R}^{2d}$o como la variable compleja$z\in \mathbb{C}^d$(y su complejo conjugado).

Los estados regulares del álgebra de las relaciones canónicas de conmutación son los estados que se pueden escribir como matrices de densidad en la representación habitual de Schrödinger. En otras palabras, son operadores de clase de rastro (positivos) (de rastro uno) que dependen solo de las variables cuánticas canónicas, es decir, los operadores de posición y momento o, de manera equivalente, los operadores de creación y aniquilación. Estos operadores$\rho(a^*,a)$son probabilidades no conmutativas en la teoría cuántica. Permítanme comentar que, dado que son de clase de seguimiento, su seguimiento se puede tomar y tiene un valor finito, y son operadores positivos . El hecho de que su rastro sea uno no es importante y, de hecho, todo podría hacerse para operadores de clase de rastro positivos con un rastro arbitrario.

deja ahora$\rho(a^*,a)$sea ​​una probabilidad no conmutativa. El papel que juega el personaje.$e^{i\omega(v)}$en una teoría conmutativa se juega con el operador de Weyl$e^{a^*(z)-a(z)}$,$z\in \mathbb{C}^d$en mecánica cuántica. Por lo tanto, es natural definir la función característica , o transformada de Fourier no conmutativa, en mecánica cuántica como:

$$\hat{\rho}(z)=\mathrm{Tr}\{\,\rho(a^*,a)\, e^{a^*(z)-a(z)}\}\; .$$ $\hat{\rho}(z)$es un número complejo para cualquier $z$desde $\rho(a^*,a)$es la clase de rastreo. Además, es una función continua, $\hat{\rho}(0)=1$, y es casi-positivo-definido: para cualquier $N\in\mathbb{N}$, $\{\alpha_i\}_{i=1}^N\subset \mathbb{C}$, y $\{z_i\}_{i=1}^N\subset \mathbb{C}^d$ $$\sum_{i,j=1}^N \alpha_i\bar{\alpha}_j \hat{\rho}(z_i-z_j)e^{i\Im \langle z_i,z_j\rangle}\geq 0\; .$$

Es muy bueno que para las probabilidades no conmutativas, se cumpla el teorema de Bochner no conmutativo (demostrado por I. Segal en los años cincuenta):

Existe una biyección entre estados regulares en el álgebra de relaciones canónicas de conmutación sobre$(S,\sigma)$y funciones continuas en$S$que son casi-positivos-definidos y tienen valor uno en cero; tal biyección es exactamente la transformada de Fourier no conmutativa.

Por lo tanto, cualquier estado cuántico regular (operador de clase de traza positiva) en el álgebra de las relaciones de conmutación canónicas sobre$(S,\sigma)$se caracteriza únicamente por una función continua y definida casi positiva en$S$. Esta es, en mi opinión, una versión más precisa de la declaración dada por los autores del artículo citado por el OP. Como comentario adicional, el teorema de Bochner no conmutativo también es válido para las teorías cuánticas de campos bosónicos, es decir , incluso si$S$es de dimensión infinita (con las modificaciones adecuadas).

Como comentario final, si la función$\rho(a^*,a)$no es positivo, pero sigue siendo una clase de rastreo, se debe tener un poco de cuidado al dar su función característica. Cada operador de clase de rastreo$A$se puede escribir únicamente como la combinación de cuatro operadores positivos$A_1,A_2,A_3,A_4$:

$$A=A_1-A_2+i(A_3-A_4)\; .$$ Por lo tanto, todos los operadores $\rho_1(a^*,a)$, $\rho_2(a^*,a)$, $\rho_3(a^*,a)$, $\rho_4(a^*,a)$se caracterizan por su función característica con las propiedades habituales, pero la función característica de un no positivo $\rho(a^*,a)$no es casi-positivo-definido. No obstante, se puede decir que cada función de clase de traza de los operadores de creación y aniquilación se caracteriza únicamente por cuatro funciones continuas y definidas casi positivas en $S$.

La función$^1$

$$C(q^{\prime},p^{\prime})~=~{\rm Tr} \left\{e^{i(p^{\prime}\hat{q}-q^{\prime}\hat{p})} \hat{G}(\hat{q},\hat{p})\right\}\tag{7}$$ es (hasta las convenciones de signos) la transformada de Fourier $$C(q^{\prime},p^{\prime})~=~\iint\frac{\mathrm{d}q~\mathrm{d}p}{2\pi} e^{i(p^{\prime}q-q^{\prime}p)}G_{W}(q,p),$$ del símbolo de Weyl $$G_{W}(q,p)~=~\iint\frac{\mathrm{d}q^{\prime}~\mathrm{d}p^{\prime}}{2\pi} e^{i(q^{\prime}p-p^{\prime}q)}C(q^{\prime},p^{\prime})$$ para el operador $$\hat{G}(\hat{q},\hat{p})~=~\iint\frac{\mathrm{d}q^{\prime}~\mathrm{d}p^{\prime}}{2\pi} e^{i(q^{\prime}\hat{p}-p^{\prime}\hat{q})}C(q^{\prime},p^{\prime}). \tag{12}$$ Compare, por ejemplo, con esta publicación de Phys.SE y la página de Wikipedia para la transformación de Wigner-Weyl . Matemáticamente. la construcción está limitada a operadores/funciones suficientemente agradables, donde dichas transformaciones integrales están bien definidas.

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$^1$Aquí usamos variables de espacio de fase real (pero se puede reescribir de manera equivalente en variables de espacio de fase complejas).