¿Por qué las funciones ortogonales y los valores propios/funciones son tan importantes en la mecánica cuántica?

Muchas rasones:

1. Las funciones ortogonales surgen naturalmente en el estudio de la teoría de Sturm-Liouville , que incluye muchos modelos matemáticos clásicos y de sistemas cuánticos;

2. De manera más general, es la clase de operadores normales (y un caso especial importante, los operadores autoadjuntos ) para los que el teorema espectral funciona más fácilmente y es más completo. Los vectores propios de tales operadores son siempre ortogonales. La "diagonalización" de un operador en cualquier teoría de sistemas lineales es un paso importante para la comprensión: significa que podemos desacoplar la acción del operador en la suma de su acción en vectores propios totalmente desacoplados. Es un paso importante para "desenredar" un problema altamente acoplado. En el contexto de cuando el espacio de Hilbert en cuestión es un espacio funcional, la teoría relevante de Sturm-Liouville, por ejemplopara el oscilador armónico cuántico muestra que el espacio lineal de todos los estados cuánticos "prácticos" normalizables está atravesado por funciones propias discretas. En otras palabras, la dimensión del espacio de Hilbert es contablemente infinita, aunque estamos tratando con espacios de funciones continuas y podrías pensar intuitivamente que la cardinalidad de la dimensión podría ser$\aleph_1$, ¡y eso es demasiado aterrador para lidiar con eso!

3. A menudo tratamos con dos importantes leyes de conservación: la conservación de la energía y la conservación de la probabilidad. Estas leyes de conservación se expresan más fácilmente si la base del espacio de estado relevante es ortogonal, lo que significa que la energía, la potencia o la probabilidad, según corresponda, es simplemente la$\mathbf{L}^2$longitud de cualquier vector. No tenemos que administrar términos de acoplamiento cruzado en nuestro espacio de producto interno. Ya se trate de funciones o bases cartesianas para el espacio euclídeo tridimensional, las proyecciones y la resolución en superposiciones de bases siempre son mucho más fáciles y claras si la base es ortogonal. Serías un fanático del castigo si hicieras un problema geométrico cotidiano en$\mathbb{R}^3$con una base general, linealmente independiente pero no ortogonal, aunque esto ciertamente se puede hacer. Exactamente los mismos principios de minimización del trabajo intelectual se aplican a los espacios funcionales tanto como a los$\mathbb{R}^3$. Las transformaciones de sistemas conservadores de energía o probabilidad son entonces unitarias y así sucesivamente.