Mecánica cuántica - posición de medición

En realidad, el resultado del aparato experimental es un intervalo$(x_0-\delta, x_0+\delta)$.$\delta>0$se queda para la precisión del instrumento que se puede hacer cada vez más pequeño pero no se puede quitar.

Por lo tanto, se supone ( axioma de Luders-von Neumann ) que, si el estado inmediatamente anterior a la medición estuviera determinado por la función de onda

$$\psi\:,$$ el inmediatamente posterior es, hasta la normalización, $$\chi_{(x-\delta, x+\delta)}\psi\:.$$ Aquí $\chi_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}(x)=1$si $x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)$y $\chi_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}(x)=0$si $x\not \in (x_0-\delta, x_0+\delta)$.

De manera abstracta, si el estado de estado del vector inicial es$\psi$, el ultimo es$P_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}\psi$. El operador$P_{(x_0-\delta, x_0+\delta)}$siendo el proyector ortogonal del PVM del operador de posición asociado al intervalo$(x_0-\delta, x_0+\delta)$.

Obviamente, esta es la descripción teórica de un procedimiento de medición muy ideal.

Si, a diferencia de la posición observable cuyo espectro es continuo, el proceso de medida se refiere a un observable$A$con espectro puntual y los elementos del espectro son puntos aislados, siempre es posible suponer la existencia de un instrumento de medida cuya sensibilidad$\delta>0$es menor que la distancia de pares de valores consecutivos de$A$. De esta manera, incluso si la medición se ve afectada por un error experimental representado por$\delta>0$, podemos distinguir entre pares de valores propios y el axioma de Luders-von Neumann toma la forma estándar más familiar: El estado después de la medición con resultado$a_0$procedimiento está representado por el vector propio con valor propio$a_0$. (Esto es cierto si el espacio propio tiene dimensión$1$de lo contrario, la forma abstracta general del axioma de L-vN se mantiene de nuevo.)

ADENDA (Después de algunas discusiones con valerio92).

Demuestro aquí en detalle cómo la forma general del postulado de L-vN conduce al postulado estándar del colapso de la función de onda después de una medición imprecisa de la posición.

Para un sistema cuántico descrito sobre el espacio de Hilbert complejo separable$\cal H$, un estado cuántico es una medida de probabilidad$\mu$sobre la red no booleana$\cal L(\cal H)$de proyectores ortogonales en el espacio de Hilbert (ver esta respuesta mía para más detalles).$P \in \cal L(\cal H)$tiene el significado de un observable cuyos valores son sólo$0$o$1$, me refiero a un observable SI/NO .$\mu(P)$es la probabilidad de que$P$resulta ser cierto si se mide cuando el estado es$\mu$.

El teorema de Gleason prueba que, si el espacio de Hilbert es separable con dimensión$\neq 2$, existe una correspondencia uno a uno entre estas medidas de probabilidad y las matrices de densidad . Estos son operadores de seguimiento de unidad, clase de seguimiento y positivo.$\rho : \cal H \to \cal H$. Esta correspondencia es tal que

$$\mu_\rho (P) = tr(\rho P)$$ para cada $P \in \cal L (\cal H)$.

La forma general del axioma de L-vN es la siguiente.

Axioma de L-vN . Dejar$P$ser un proyector ortogonal que representa un observable elemental del sistema físico y$\rho$un estado. Si el resultado de la medición de$P$cuando el estado es$\rho$es$1$(SÍ), el estado posterior a la medición es

$$\rho_P = \frac{P\rho P}{tr(\rho P)}\:.\tag{1}$$ Este postulado tiene una interpretación directa de probabilidad condicional: $\mu_{\rho_P}$es la única medida de probabilidad tal que $$\mu_{\rho_P}(Q) = \frac{\mu(Q)}{\mu(P)}$$ para cada $Q \in \cal L (\cal H)$con $Q \leq P$.

Los estados puros por definición son elementos extremos del cuerpo convexo de las medidas mencionadas. En otras palabras, una matriz de densidad$\rho$es un estado puro si no hay$p,q\in (0,1)$con$p+q=1$y matrices de densidad$\rho_1\neq \rho_2$tal que$\rho = p\rho_1 + q \rho_2$.

Resulta que$\rho$es pura si y solo si tiene la forma

$$\rho = |\psi \rangle \langle \psi |$$ para algunos $\psi \in \cal H$con $||\psi||=1$.

Evidentemente vectores unitarios$\psi$y$\psi'$definen el mismo estado puro si y solo si$\psi = e^{ia}\psi'$para algunos$a \in \mathbb R$.

El postulado de L-vN aplicado a estados puros se especializa a este enunciado

Axioma de L-vN (estados puros) . Dejar$P$ser un proyector ortogonal que representa un observable elemental del sistema físico y$|\psi \rangle \langle \psi |$un estado puro. Si el resultado de la medición de$P$cuando el estado es$|\psi \rangle \langle \psi |$es$1$(SÍ), el estado posterior a la medición sigue siendo puro tiene la forma

$$|\psi_P \rangle \langle \psi_P | = \frac{P|\psi \rangle \langle \psi | P}{tr(|\psi \rangle \langle \psi | P)}\:.\tag{2}$$

Desde$tr(|\psi \rangle \langle \psi | P)= ||P \psi||^2$, de modo que

$$|\psi_P \rangle \langle \psi_P | = \frac{P|\psi \rangle \langle \psi | P}{||\psi|| \: ||\psi||}\:,$$ el postulado se puede reformular de la siguiente manera.

Axioma de L-vN (estados puros 2) . Dejar$P$sea ​​un proyector ortogonal que represente un observable elemental del sistema físico y sea el vector unitario$\psi \in \cal H$representan un estado puro hasta las fases. Si el resultado de la medición de$P$cuando el estado está representado por$\psi$es$1$(SÍ), el estado posterior a la medida sigue siendo puro y está representado, hasta las fases, por el vector unitario

$$\psi_P = \frac{P\psi}{||P\psi||}\:.\tag{3}$$

Lleguemos finalmente a la posición observable de una partícula que se mueve a lo largo del eje real.

Aquí${\cal H} = L^2(\mathbb R, dx)$y la posición observable es el operador multiplicativo autoadjunto

$$(X \psi)(x):= x\psi(x)$$ con dominio evidente.

La descomposición espectral de$X$lo asocia a la medida valorada por el proyector$\{P_E\}_{E \in B(\mathbb R)}$dónde$B(\mathbb R)$es la clase de Borel conjunto del eje real, por ejemplo$E$puede ser un intervalo$E=(a,b)$. El teorema espectral dice que$P_E$se define así

$$(P_E \psi)(x):= \chi_E(x)\psi(x)\quad \forall x \in \mathbb R\:.\tag{4}$$ El significado del proyector ortogonal $P_E$es

$$\mbox{"the position of the particle stays in $E$"}$$

De hecho, si$\psi \in L^2(\mathbb R, dx )$es un vector normalizado que representa un estado puro, la probabilidad de que$P_E$es verdad es

$$tr(P_E |\psi\rangle \langle \psi|)= ||P_E\psi||^2 = \int_{\mathbb R} |\chi_E(x) \psi(x)|^2 dx = \int_E |\psi(x)|^2 dx\:,$$ en perfecto acuerdo con versiones más elementales de la Mecánica Cuántica.

Con esta interpretación, medir$X$significa medir cada $P_E$o al menos midiendo la clase de proposiciones elementales mutuamente excluyentes$P_{(ns, (n+1)s]}$con$n \in \mathbb Z$dónde$s$es la sensibilidad del instrumento.

Supongamos que el estado inicial de la partícula es puro y (hasta fases) representado por la función de onda (normalizada)$\psi$. Supongamos que realizamos una medición de la posición y encontramos que la partícula permanece en$E \subset \mathbb R$. ¿Cuál es el estado posterior a la medición según el Postulado de Luders y von Neumann?

Podemos aplicar nuestra tercera versión, la que se especializa en estados puros descritos en términos de vectores unitarios. El estado posterior a la medición$\psi_E$, hasta la fase, está representado por el vector en (3):

$$\psi_E := \frac{P_E \psi}{||P_E \psi||}\:.$$ Teniendo en cuenta (4), encontramos $$\psi_E(x) = \frac{\chi_E(x) \psi(x)}{\sqrt{\int_E |\psi(z)|^2 dz}}\:.$$