Unicidad de la representación del vector propio en un conjunto completo de observables compatibles [duplicado]

Posible duplicado:
unicidad de la representación del vector propio en un conjunto completo de observables compatibles

Sakurai afirma que si tenemos un conjunto completo y máximo de observables compatibles, digamos A,B,C... Entonces, un vector propio representado por |a,b,c....> , donde a,b,c... son valores propios respectivos, es único. ¿Por que es esto entonces? ¿Por qué no puede haber dos vectores propios con los mismos valores propios para cada observable? ¿La maximalidad del conjunto tiene algún papel que jugar en él?

Hice esta pregunta en Physics SE y no quedé satisfecho con las respuestas. Espero que me ayuden aquí.

No estoy seguro de que esta pregunta sea adecuada para este sitio, creo que physics.se encaja mucho mejor. Además, me parece que Genneth ya dio una excelente respuesta allí.
@Moshe: No me molesté en mirar el enlace Physics.SE antes de responder, pero ahora que lo señaló, estoy de acuerdo en que la respuesta de Genetth fue perfecta.

Respuestas (2)

Sí, dado que es el conjunto máximo de observables compatibles, incluye todos los observables para los que | a ⟩ , | b ⟩ , | C ⟩ , etc. son los vectores propios (usaré la notación | ψ 1 ⟩ , | ψ 2 ⟩ , | ψ 3 ⟩ etc. en su lugar). Por lo tanto, esto incluye lo observable D = ∑ k k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | . Sin embargo D tiene un conjunto único de vectores propios y, por lo tanto, también lo tiene cualquier conjunto compatible de observables que contenga D .

Dos preguntas. ¿Sus psi_1, psi_2, etc. son todos números diferentes? En caso afirmativo, ¿qué sucede si el espectro es degenerado? Si no, entonces creo que su prueba no funcionará. Segundo, ¿por qué D es un observable? ¿No es la definición de observable que es una cantidad física que se puede medir? Todo lo que puedo ver es que D es un Operador Hermitiano. ¿Por qué debería ser un observable?
ψ i anteriores son una base para el espacio de Hilbert en el que todas las medidas son diagonales. Si el conjunto de medidas es máximo entonces necesariamente contiene D para alguna elección específica de base. Dado que especifica el conjunto de observables por sus vectores propios, puede construir explícitamente D .
En segundo lugar, en mecánica cuántica observable y operador hermitiano son sinónimos. Puede construir una medida física (al menos en principio) para cualquier operador hermitiano, y cualquier observable físico es hermitiano.

Puede y a veces tiene valores propios degenerados.

Esto podría ser solo una cuestión de definiciones: "un conjunto completo de conmutables observables (CSCO) es un conjunto de operadores conmutativos cuyos valores propios especifican completamente el estado de un sistema (Gasiorowicz 1974, p. 119)". [1]

Dicho esto, si me das un hamiltoniano cocinado con al menos un valor propio degenerado, tal vez uno pueda probar que no hay conmutaciones observables con él.

Eso es incorrecto. El propio hamiltoniano es un observable. Además, si asigna un conjunto arbitrario de valores propios únicos a los mismos vectores propios (seleccionando una base para cada subespacio degenerado), eliminando así la degeneración, esto produce un observable que es simultáneamente diagonalizable con el hamiltoniano y, por lo tanto, conmuta con él, pero que no tiene espacios propios degenerados.
Unicidad de la representación del vector propio en un conjunto completo de observables compatibles [duplicado]
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