¿Por qué las estructuras a gran escala son isotrópicas en el modelo de Ising?

Tengo al menos una comprensión cualitativa de por qué el estado crítico del modelo de Ising es invariante a escala, por argumentos relacionados con la renormalización, que entiendo solo de manera muy aproximada.

Sin embargo, además de ser invariantes a los cambios de escala, los patrones a gran escala en el punto crítico también son invariantes con respecto a las rotaciones, aunque el uso de una red (cuadrada) hace que el modelo sea anisotrópico a nivel microscópico. Para el caso, el patrón de 'manchas' separadas por fases que se forma cuando el modelo de Ising se apaga también parece ser rotacionalmente invariante.

¿Puede alguien ofrecerme una explicación (intuitiva o técnica, o preferiblemente ambas) de por qué uno debe esperar que las estructuras a gran escala en este tipo de modelo sean rotacionalmente invariantes?

¿Qué quiere decir con "el patrón de 'manchas' separadas por fases que se forma cuando se apaga el modelo Ising"? ¿Te refieres a la forma de la gota de una fase inmersa dentro de la otra, cuando la magnetización se fija en un valor entre metro ∗ y − metro ∗ ? En caso afirmativo, entonces esta forma no es invariante a la rotación, ya que la tensión superficial no lo es y la forma se obtiene mediante la construcción de Wulff. Es cierto, sin embargo, que (apropiadamente reescalada) esta forma converge a un disco como β ↓ β C .
Tenga en cuenta que el último resultado solo se ha probado en la dimensión 2 , y allí resulta del hecho de que la tensión superficial se vuelve isotrópica en este límite, por la misma razón que la caminata aleatoria 2d converge al movimiento browniano.
@YvanVelenik no, me refiero al patrón que surge si comienza a una temperatura alta y luego la baja rápidamente por debajo de la temperatura crítica, luego la ejecuta durante un tiempo bastante largo (usando, por ejemplo, la actualización de Metropolis) pero no lo suficiente como para alcanzar el equilibrio. Si lo hace, obtendrá un patrón con una escala característica, que parece isótropo a simple vista. Aunque supongo que en realidad podría no ser isotrópico, porque probablemente también dependa de la tensión superficial. (Sus comentarios fueron muy útiles.)
¿Ocurre esto con otros esquemas de relajación numérica, dice Wolff, o es verdaderamente independiente de la dinámica? Creo que debería haber una relación con lo que dijo @YvanVelenik sobre el "conjunto canónico", ya que el patrón que describe solo podría ocurrir "cerca del equilibrio". Tengo poco conocimiento de las matemáticas formales, pero creo que tal vez podría escribir el problema en términos de flujo de Ricci o una versión discretizada (si existe) y preguntar sobre las propiedades de simetría de la forma resultante (no debería ser difícil si usted es dispuesto a ir a valores numéricos continuos de campo medio/campo de fase de Ising)
@alarge es difícil decir si es independiente de la dinámica, ya que no tengo ningún código de algoritmo de Wolff para probarlo. Sin embargo, mi intuición dice que probablemente podría idear algún esquema dinámico loco que daría como resultado una extinción obviamente anisotrópica, así que sospecho que no lo es.
En realidad, hay una prueba de que la correlación espín-espín es rotacionalmente simétrica a la temperatura crítica para un modelo de Ising de celosía cuadrada 2d.

Respuestas (1)

No sé si esto califica como una respuesta completa, pero la respuesta "intuitiva" sería que en escalas lo suficientemente grandes, los detalles de la red no importarán: si mira desde lo suficientemente lejos (a la inversa, el parámetro de red es lo suficientemente pequeño), se verá como un continuo.

En esta imagen, se esperaría que las estructuras a gran escala fueran totalmente invariantes frente a la rotación, pero no las más pequeñas. Por otra parte, un enunciado similar se mantendría para la invariancia de la escala.

Por cierto, cuando dice "parece ser rotacionalmente invariante", ¿tiene alguna evidencia analítica o numérica para eso? Una vez miré la función de correlación y vi (numéricamente) que era más o menos circular.

ACTUALIZACIÓN: Aquí están esas funciones de correlación. He sido un poco reacio a publicarlos porque (a) realmente no agrega nada sobre por qué las correlaciones se comportan de esta manera, y (b) los hice hace años para un proyecto de curso, por lo que los datos (producidos con el Swendsen -Algoritmo Wang) tal vez no sean tan "seguros", y las tramas no sean tan agradables como cabría esperar en una publicación. Con esta advertencia, seguiré adelante y los publicaré de todos modos.

Qué buscar: En T ≷ T C , la función de correlación (¡conectada!) decae rápidamente, en T = T C es de largo alcance. Las isolíneas muestran cuán circularmente simétrica se vuelve la función de correlación a una distancia más larga, mientras que a una distancia corta (en el rango alto). T parcela) todavía se puede ver el enrejado. (Observe las diferentes escalas en las gráficas).

función de correlación conectada $G_c(x,y)$ en $T<T_c$ función de correlación conectada $G_c(r)$ en $T<T_c$

función de correlación conectada $G_c(x,y)$ en $T=T_c$ función de correlación conectada $G_c(r)$ en $T>T_c$

función de correlación conectada $G_c(x,y)$ en $T>T_c$ función de correlación conectada $G_c(r)$ en $T>T_c$

Realmente aprecio la respuesta, pero la cuestión es que, para alguien que juega con autómatas celulares para ganarse la vida, es bastante notable que los detalles de la red no importen en escalas lo suficientemente grandes. Para "la mayoría de los sistemas", ese no es el caso, y la anisotropía de la red es heredada por las estructuras a gran escala. Debe haber algún mecanismo especial que haga que la red se comporte como un continuo en modelos con la estructura del modelo de Ising, y tengo curiosidad por saber cuál es. Para la invariancia de escala, puedo verlo, pero la isotropía todavía me parece un misterio.
Me temo que no quise decir nada formal con "parece ser rotacionalmente invariable". Solo quise decir que cuando miro imágenes de alta resolución de simulaciones, no puedo ver ningún borde recto alineado con la red, o cualquier otro pistas reveladoras que sugieren anisotropía.
Bueno, si "juegas con autómatas celulares para ganarte la vida" (buena descripción del trabajo, por cierto), probablemente tengas un conocimiento más profundo sobre esto que yo. Sin embargo, diría que la creencia de que los modelos de celosía pueden aproximarse al continuo a gran escala es bastante generalizada en la física (por ejemplo, QCD de celosía, ¿y no había un modelo de celosía para la transición líquido-gas?). Por el contrario, los sólidos y líquidos reales se pueden describir con bastante éxito utilizando modelos continuos.
Supongo que la evidencia es que a veces la red se vuelve irrelevante en el límite a gran escala y otras veces no. La difusión y el modelo de Ising se vuelven isotrópicos a gran escala, pero (para elegir el primer ejemplo arbitrario que encontré con una animación en Wikipedia), Brian's Brain no lo hace. En el caso de la difusión, entiendo por qué desaparece la anisotropía de la red, pero no en el modelo de Ising. Sospecho que la respuesta no es trivial. (¡Feliz Navidad por cierto!)
¿Por qué las estructuras a gran escala son isotrópicas en el modelo de Ising?
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