¿Por qué las energías del pozo cuadrado infinito disminuyen a medida que aumenta el ancho del pozo?

Las funciones de onda de estado estacionario para el pozo cuadrado infinito de ancho a son dados por

ψ norte ( X ) = 2 a pecado ⁡ ( norte π X a ) .
Estos corresponden a energías,
mi norte = norte 2 π 2 ℏ 2 2 metro a 2 .
Supongamos que vamos a modificar el ancho del pozo, de modo que el nuevo ancho venga dado por 2 a . Entonces, las nuevas funciones de onda del estado estacionario se convierten en,
ψ norte ( X ) = 2 a pecado ⁡ ( norte π X 2 a ) ,
correspondiente a las energías,
mi norte = norte 2 π 2 ℏ 2 2 metro ( 2 a ) 2 .
Evidentemente, las energías disminuyen a medida que aumenta el ancho del pozo.

Clásicamente, esto es perfectamente lógico para mí. Si confinamos una partícula discreta a una pequeña región en un espacio unidimensional, tiene sentido que rebote (contra las paredes de sus confines), mucho más que si la confinamos a una región más grande en un espacio unidimensional. espacio.

Sin embargo, en la mecánica cuántica, no podemos pensar en la partícula como un punto en el espacio, sino que debemos pensar en ella como una especie de onda. Si ese es el caso, ¿cuál podría ser una posible explicación física para la disminución de energía a medida que aumentamos el ancho del pozo?

En realidad, la analogía clásica en su penúltimo párrafo es incorrecta. La frecuencia con la que una partícula puntual clásica rebota con las paredes no afecta su energía ya que la energía cinética se conserva en las colisiones elásticas.

Respuestas (4)

En el pozo infinito, la energía cinética pag 2 / 2 metro es la única cantidad que importa porque V = 0 dentro del pozo. Desde

pag 2 2 metro → − ℏ 2 2 metro d 2 d X 2 ,
la energía cinética es proporcional a la curvatura de la función de onda.

Si el pozo es angosto, las funciones de onda tendrán una mayor curvatura ya que deben acomodar un número entero de semiciclos sinusoidales dentro del pozo angosto. Por el contrario, si el pozo es ancho, las mismas soluciones tendrán comparativamente mucha menos curvatura y, por lo tanto, tendrán menos energía.

¿Podría explicar por qué está relacionando la curvatura con la energía, físicamente?
El único argumento es el anterior, es decir H = pag 2 / ( 2 metro ) + V , con V = 0 adentro para que H = − ℏ 2 2 metro d 2 d X 2 . De este modo, ψ ″ ( X ) = − 2 metro mi ℏ 2 ψ muestra que la curvatura de ψ , contenida en ψ ″ ( X ) , depende explícitamente de mi .

La historia heurística estándar se basa en el principio de incertidumbre de Heisenberg Δ X ⋅ Δ pag ≥ ℏ / 2 . Cuanto menor sea la incertidumbre en la posición de una partícula, mayor será la incertidumbre en su momento (y viceversa). Si una partícula está confinada a una caja, entonces la incertidumbre en su posición ciertamente no puede ser mayor que el tamaño L de la caja, así Δ pag ≥ ℏ / ( 2 L ) . Aumentar el tamaño de la caja le permite expandirse más y aumenta la incertidumbre en su posición, por lo que disminuye la dispersión de sus momentos sobre el valor promedio. pag = 0 , por lo que la partícula "se ralentiza" y su energía disminuye.

tu demostraste eso mi norte ∝ 1 a 2 . Esa es una explicación física de por qué la energía disminuye a medida que a aumenta En QM, por lo general, no es útil buscar analogías sobre cómo "se mueven" las partículas como en la mecánica clásica.

En realidad esto debe ser así, ya que en el a → ∞ límite, es mejor que recuperes la mecánica cuántica de una partícula libre moviéndose sobre la línea real. si defines k norte = norte π / a , uno puede ver que para a muy grande, la brecha entre los sucesivos k norte se vuelve realmente pequeño y así en el a → ∞ límite se convierte básicamente en una variable continua. Entonces uno obtiene el espectro de energía. mi k = ℏ 2 k 2 / 2 metro con funciones de onda ψ ( X ) ∝ s i norte ( k X ) , la onda habitual de partículas libres.

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