¿Por qué no requerimos derivadas más altas para que coincidan en el límite al resolver la ecuación de Schrödinger en un potencial dado?

Si estoy interpretando correctamente su pregunta, tiene una ecuación S. 1D independiente del tiempo con$V$que es discontinua en algunos puntos. Resuelve esa ecuación para un valor propio fijo$E$por separado en cada intervalo de continuidad obteniendo funciones$\psi_E$cuales son$C^2$en todo intervalo abierto y depende de dos constantes arbitrarias. Finalmente, combina las funciones encontradas en los límites de los distintos intervalos. Está preguntando por qué solo se requiere continuidad y continuidad de la primera derivada en el punto singular y no continuidad de la segunda derivada.

Considero los valores propios propios y los vectores propios asociados a continuación.

La razón es técnica. Tienes un operador de la forma

$$H= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x) \tag{1}$$ y usted está buscando funciones propias $\Psi_E$, de modo que $$H\psi_E= E\psi_E\:.\tag{2}$$ Como usted probablemente sabe, el operador $H$debe ser autoadjunto, de lo contrario no tiene una base de Hilbert de vectores propios. Por otro lado, el dominio del operador, $D(H)$, no es todo el espacio, por lo que $\psi_E$debe pertenecer a ese dominio. El punto es que los operadores con la forma (1) no son autoadjuntos cuando se definen en espacios de funciones diferenciables. Sin embargo, son esencialmente autoadjuntos , es decir $H^\dagger$es autoadjunto y $H^\dagger$ es la energía verdadera observable . Entonces, la ecuación de Schroedinger físicamente correcta no es (2), sino que es $$H^\dagger \psi_E = E\psi_E\tag{3}$$ dónde $\psi_E$pertenece al dominio mayor de $H^\dagger$que, a su vez, no es un operador diferencial. Usando la definición de operador adjunto, (3) puede escribirse de manera equivalente $$\langle H \phi| \psi_E \rangle = E\langle \phi| \psi_E \rangle \quad \forall \phi \in D(H)\:.$$ Explícitamente $$\int_{\mathbb R} \frac{d^2 \phi}{dx^2}\psi_E(x) dx =\int_{\mathbb R} \frac{2m}{\hbar^2}(V(x)-E)\phi(x) \psi_E(x)\: dx\quad \forall \phi \in D(H)\tag{4}$$ Como suele $D(H)\supset C_0^\infty(\mathbb R)$, (4) dice que $\psi_E$admite la segunda derivada débil . En este punto, un análisis basado en los teoremas de regularidad elíptica de Weyl prueba que, si $\psi_E \in L^2$satisfaciendo (4) existe debe ser $C^2$en los intervalos donde $V$es continua y debe ser $C^1$en los puntos restantes.