Interpretación matemática de los corchetes de Poisson

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Interpretación matemática de los corchetes de Poisson

Física
teoría de campo
corchetes de poisson
física-matemática
derivados funcionales
distribuciones-dirac-delta

usuario47224

Digamos que estamos trabajando en una teoría de campo escalar clásica y tenemos dos funciones $F[\phi, \pi](x)$ y $G[\phi, \pi](x)$ . En la mayoría de las referencias, a partir de dos funcionales el bracket de Poisson se define como

{F (X), GRAMO (y)} = \int d^{3} z (\frac{d F (X)}{d ϕ (z)} \frac{d GRAMO (y)}{d π (z)} - \frac{d F (X)}{d π (z)} \frac{d GRAMO (y)}{d ϕ (z)}) .

$\{F(x),G(y)\} = \int d^3z \left( \frac{\delta F(x)}{\delta \phi(z)}\frac{\delta G(y)}{\delta \pi(z)} - \frac{\delta F(x)}{\delta \pi(z)}\frac{\delta G(y)}{\delta \phi(z)}\right) .$

Pero como se explica aquí la derivada funcional $\frac{\delta F}{\delta \phi}$ es una distribución más que una función, por lo que la definición anterior no tiene mucho sentido. Entonces me preguntaba si el corchete de Poisson se puede interpretar como la convolución calculada en $(x-y)$ (en el sentido de distribuciones) entre las derivadas funcionales. Esto funciona en caso de interés como $\{\phi(x), \pi(y) \}$ pero no estoy seguro de que se pueda aplicar para dos funciones genéricas (la dependencia $(x-y)$ no es explícito). ¿Hay alguna prueba de que el corchete de Poisson es una convolución? Más en general, ¿pueden formularse teorías de campo de manera formal en el sentido de distribuciones?

qmecanico

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qmecanico · Answer 1

I) Vale la pena mencionar que existe un enfoque básico que se adapta bien a las aplicaciones de la física (donde generalmente asumimos la localidad) que evita multiplicar dos distribuciones juntas. La idea es que las dos entradas $F$ y $G$ en el corchete de Poisson (PB)

\begin{matrix} (1) & {F, GRAMO} = \int_{METRO} d X (\frac{d F}{d ϕ (X)} \frac{d GRAMO}{d π (X)} - \frac{d F}{d π (X)} \frac{d GRAMO}{d ϕ (X)}) \end{matrix}

$\tag{1}\{F,G\} ~=~ \int_M \!dx \left( \frac{\delta F}{\delta \phi(x)}\frac{\delta G}{\delta \pi(x)} - \frac{\delta F}{\delta \pi(x)}\frac{\delta G}{\delta \phi(x)} \right)$

se supone que son funcionales locales (diferenciables). $^1$ Cuando un funcional $F$ es diferenciable $^2$ los derivados funcionales

\begin{matrix} (2) & \frac{d F}{d ϕ (X)}, \frac{d F}{d π (X)}, \end{matrix}

$\tag{2}\frac{\delta F}{\delta \phi(x)},\frac{\delta F}{\delta \pi(x)},$

de $F$ wrt. todos los campos $\phi(x)$ , $\pi(x)$ , existir.

Si las dos entradas $F$ y $G$ se supone que son funcionales locales diferenciables, las derivadas funcionales (2) serán funciones locales $^1$ (a diferencia de las distribuciones), y tiene sentido multiplicar dos derivados funcionales de este tipo y finalmente integrar para obtener el PB (1). La salida $\{F,G\}$ es de nuevo un diferenciable $^3$ funcional local, de modo que el soporte de Poisson $\{\cdot,\cdot\}$ es un producto en el conjunto de funcionales locales diferenciables.

II) Algunas magnitudes físicas ya son funcionales locales $F$ , mientras que otras son funciones locales $f(x)$ . ¿Cómo convertimos una función local en una funcional local? Usamos una función de prueba $\eta(x)$ . Si $f(x)$ es una función local, defina una función local correspondiente como

\begin{matrix} (3) & F [η] := \int_{METRO} d X F (X) η (X) . \end{matrix}

$\tag{3}F[\eta]~:=~ \int_M \! dx f(x)\eta(x).$

Entonces está listo para ser insertado en el PB (1).

Referencias:

JD Brown y M. Henneaux, Sobre los corchetes de Poisson de generadores diferenciables en la teoría clásica de campos, J. Math. física 27 (1986) 489 .

--

$^1$ Para la definición de una función local y una función local, consulte, por ejemplo , esta publicación de Phys.SE y los enlaces que contiene.

$^2$ La existencia de una derivada funcional (2) de una funcional local $F$ depende de la elección adecuada de las condiciones de contorno.

$^3$ La diferenciabilidad del PB (1) está garantizada bajo supuestos apropiados, cf. Árbitro. 1, que a su vez también discute la identidad de Jacobi para el PB (1).

Gracias por la respuesta. Probablemente me estoy perdiendo el punto clave, pero estás afirmando que $\frac{\delta F}{\delta \phi}$ es una función local, por lo que se puede expresar en términos de una función de $n+1$ variables (refiriéndose al enlace que publicaste). Por otro lado es bien sabido que $\frac{\delta F}{\delta \phi} = \delta(x-y)$ no se puede considerar una función (solo en ciertos límites) por lo que el problema persiste.
@ user47224: La derivada funcional $\frac{\delta F}{\delta \phi(y)} = \delta(x-y)$ en su ejemplo es de hecho una distribución. Supongo que tomas $F=\phi(x)$ , que es una función local pero no un funcional local.
Perdona si insisto, pero: Llamemos $\mathcal{D}$ el espacio de las funciones de prueba (soporte liso y compacto), $\mathcal{D'} =\{ f:\mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R} \}$ su doble espacio. Como puede verse [aquí][1] para introducir la derivada $\frac{d}{d\epsilon}|_{\epsilon = 0} F[\phi + \epsilon g]$ es necesario que, en mi ejemplo $F:\mathcal{D}\rightarrow \mathbb{C}$ . Además el objeto $<\frac{\delta F}{\delta \phi}; . > :\mathcal{D}\rightarrow \mathbb{C}$ entonces $\frac{\delta F}{\delta \phi} \in D'$ [1]: en.wikipedia.org/wiki/…
entonces el corchete de Poisson se define actuando en el siguiente dominio $\{ ;\} : \mathcal{D}'\times\mathcal{D}' \rightarrow \mathcal{D}'$ . El único operador (que yo sepa) que actúa de esta manera es la convolución $\ast$
@user47224: tenga en cuenta que una función local $f(x)$ es también una distribución (pero no al revés). El conjunto de funciones locales se puede incrustar en el conjunto de distribuciones. La derivada funcional $\frac{\delta F}{\delta \phi(x)}$ es una distribución, pero para un local funcional $F$ , esta distribución se puede representar mediante una función local $f(x)$ .
Bien, ahora entiendo tu punto. Si no me equivoco, la prescripción de localidad asegura que el corchete de Poisson está bien definido como una convolución.

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