Dimensión de masa de la derivada en un Lagrangiano

Trabajamos en unidades donde$c = \hbar = 1$. Recuerde que la longitud de onda de Compton es,

$$\lambda = \frac{\hbar}{mc}$$

y así en nuestras unidades escalas de longitud$\lambda$tienen unidades de masa inversa o energía inversa equivalente, por lo que decimos$[\lambda] = -1$, es decir$[\lambda] = [M]^{-1}$. El diferencial parcial es,

$$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$$

que tiene las dimensiones de la inversa de la longitud, entonces$[\partial] =1$. Esta derivación es independiente de la noción de un Lagrangiano. Ahora podemos aplicar este conocimiento para decir, la teoría del campo escalar:

$$\mathcal L = \frac12 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi, \quad S = \int \mathcal L \, \mathrm d^4x.$$

La acción tiene las mismas unidades que$\hbar$que se establece en uno, por lo que$[S] = 0$. Cada$\mathrm dx$tiene unidades de longitud, por lo que$[\mathrm d^4x] = -4$de la que encontramos$[\mathcal L] = 4$. Conocimiento$[\partial] = 1$, encontramos$[\phi] = 1$.