¿Por qué mi término de 4 divergencias agregado a un Lagrangiano modifica la ecuación de movimiento?

Tomo este Lagrangiano:

$$\mathcal{L}=\mathcal{L}_0+\partial_\alpha f(\phi, \partial_\mu \phi).$$

En este tema, ¿un término adicional de cuatro divergencias en una densidad lagrangiana es importante para las ecuaciones de campo? , se dice que cualquier término de 4 divergencias añadido a un Lagrangiano no modifica la ecuación de movimiento.

En mi ejemplo agrego$\partial_\alpha f(\phi, \partial_\mu \phi)$a$\mathcal{L}_0$(no es una divergencia 4 pero la mecánica detrás es exactamente la misma). Y remarco que puede modificar la ecuación de movimiento si$f$contiene derivadas temporales de$\phi$. Entonces no entiendo.

Escribo la variación infinitesimal de la acción en$\mathcal{L}$:

$$\delta S = \int d^4x ~ \delta \mathcal{L},$$

$$\delta S = \int d^4x ~ [ \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi) + \partial_\alpha [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)] ~ ].$$

Como de costumbre, sé que:$\delta(\partial_\mu \phi)=\partial_\mu \delta(\phi)$. Así puedo integrar por partes:

$$\delta S = \int d^4x ~ [ \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial \phi} - \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} )\delta \phi + \int d^4x ~ \partial_\mu[\frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi] + \int d^4x ~ \partial_\alpha [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)].$$

Tenemos:

$$\int d^4x ~ \partial_\mu[\frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi] = \int d^3x ~ [\frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi]_{x_i^{-}}^{x_i^{+}}=0.$$

En efecto,$\delta \phi=0$en los límites por hipótesis ($x_i^{+}=+\infty$para coordenadas espaciales y$t_f$para el tiempo).

También tenemos:

$$\int d^4x ~ \partial_\alpha [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]= \int d^3x ~ [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]_{x_i^{-}}^{x_i^{+}}=\int d^3x ~ [\frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]_{x_i^{-}}^{x_i^{+}}.$$

** Y aquí está mi problema **.

El hecho$\delta \phi(x_i^{+})=\delta \phi(x_i^{-})=0$no implica que$\partial_\mu \delta \phi(x_i^{+})=\partial_\mu \delta \phi(x_i^{-})=0$.

Para ser más precisos, podría ser cierto si$x_i^{+}=-x_i^{-}=+\infty$(*) pero si tomo las coordenadas de tiempo, tengo$x_i^{+}=t_f$. Así que al menos no es cierto para$\mu=t$.

Por lo tanto, el término adicional$\partial_\alpha f(\phi, \partial_\mu \phi)$modifica la extremalidad de la acción. Así no tendré la misma ecuación de movimiento.

Pero en este tema: ¿ Un término adicional de cuatro divergencias en una densidad lagrangiana es importante para las ecuaciones de campo? el libro del autor dice que cualquier cuatro divergencia no afecta la ecuación de movimientos.

Pero hemos visto aquí (si no me equivoco, lo que no es nada seguro) que si el término adicional es una derivada total que contiene derivadas temporales del campo, puede cambiar las ecuaciones de movimiento.

¿Dónde estoy equivocado?

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(*) : es cierto porque preguntamos$\phi$para ir a cero en el infinito, por lo que solo permitimos variaciones de$\phi$que desaparecen en el infinito (de lo contrario, terminaríamos con$\phi+\delta \phi$no integrable). Y como$(x,y,z) \mapsto \delta \phi(x,y,z,t)$va a$0$en el infinito, toda su derivada también.