¿Por qué la teoría del fonón no reproduce una curva similar a la de Debye para CVCVC_V frente a TTT?

En la parte superior de la página 455 en Ashcroft y Mermin, notan que uno puede expandir la distribución de Bose-Einstein en potencias de$1/T$para obtener la expansión a alta temperatura. El primer término produce la Ley de Dulong y Petit, y el resto de los términos decaen en función de$T$. Debido al corte natural de alta frecuencia causado por la distancia finita entre los átomos, la integral en cada uno de estos términos también es finita. Estos dos hechos hacen que la capacidad calorífica sea finita a altas temperaturas y que la capacidad calorífica coincida con la Ley de Dulong y Petit como$T\to\infty$. Para un caso específico, considere lo siguiente.

modelo armónico 1D

En la medida en que podamos tratar las vibraciones de la red como armónicas (es decir, sin términos de oscilador no lineal), la teoría de fonones para un sólido 1D produce una curva similar a la de Debye.

Relación de dispersión y densidad de estados

La relación de dispersión para una cadena 1D de átomos de masa$m$separados por una distancia$a$y conectados por resortes de resorte-constante$c$es

$$\omega = 2\sqrt{\frac{c}{m}}\left|\sin\left(\frac{k_xa}{2}\right)\right|,~~~~~~~\mbox{where}~~~~~~-\frac{\pi}{a}\leq k_x\leq \frac{\pi}{a}.$$ En consecuencia, la densidad de estados (1D) viene dada por $$D(\omega) = \frac{L}{\pi}\frac{1}{d\omega/dk},$$ dónde$L=Na$es la longitud total del sólido, y$N$es el número de átomos (también el número de celdas unitarias primitivas, ya que hay un átomo por celda unitaria). Usando la relación de dispersión anterior, esto se convierte en $$D(\omega)= \frac{N}{\omega_{\textrm{max}}}\frac{2}{\pi} \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{1-(\omega/\omega_{\textrm{max}})^2}} & \omega \leq \omega_{\textrm{max}} \\ 0 & \textrm{otherwise} \end{cases},$$ dónde$\omega_{\textrm{max}}=2\sqrt{c/m}$. Es importante destacar que la frecuencia de corte$\omega_{\textrm{max}}$se incorpora automáticamente: la frecuencia máxima (longitud de onda mínima) emerge debido al espacio finito entre los átomos.

Expresión integral para la energía interna.

Al convertir la integral sobre$k$a uno encima$\omega$, la energía interna se convierte en

$$U = \int_0^{\infty}d\omega~D(\omega)\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_{\textrm{B}}T}-1} = \int_0^{\omega_{\textrm{max}}}d\omega~\frac{N}{\omega_{\textrm{max}}}\frac{2}{\pi}\frac{1}{\sqrt{1-(\omega/\omega_{\textrm{max}})^2}}\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_{\textrm{B}}T}-1}.$$ Al cambiar las variables a$x=\omega/\omega_{\textrm{max}}$, esto se convierte $$U= \frac{2N}{\pi}\hbar\omega_{\textrm{max}}\int_0^{1}dx~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\frac{x}{e^{x(\hbar\omega_{\textrm{max}}/k_{\textrm{B}}T)}-1}.$$

Capacidad calorífica

La capacidad calorífica está dada por

$$\frac{\partial U}{\partial T} = k_{\textrm{B}}\frac{2N}{\pi}\left(\frac{\hbar\omega_{\textrm{max}}}{k_{\textrm{B}}T}\right)^2\int_0^{1}dx~\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\frac{x^2e^{x(\hbar\omega_{\textrm{max}}/k_{\textrm{B}}T)}}{\left(e^{x(\hbar\omega_{\textrm{max}}/k_{\textrm{B}}T)}-1\right)^2}.$$ Esta integral es finita para todos los valores positivos de$T$. A continuación, tracé esta capacidad calorífica (continua) junto con la correspondiente interpolación de Debye (discontinua) como una función de$T$. Podemos ver que ambos siguen la Ley de Dulong y Petit a altas temperaturas, que son lineales a bajas temperaturas (y concuerdan), y que el modelo de fonones da una mayor capacidad calorífica a temperaturas intermedias debido al redondeo de la dispersión. relación (es decir, más modos a frecuencias más bajas significa que los modos de frecuencia más alta "se encienden" a temperaturas más bajas que en el modelo de Debye con la relación de dispersión lineal. (Tenga en cuenta que para comparar los dos, igualé la velocidad del sonido de longitud de onda larga de los dos modelos, lo que resulta en$\omega_{\textrm{D}} = \frac{\pi}{2}\omega_{\textrm{max}}$.)