Temperatura de Debye para el cobre

Aquí pasan pocas cosas. La primera es que pareces estar mezclando unidades para la densidad y la masa molar, usando kg en un caso y g en el otro. Si arregla eso, obtendrá correctamente una densidad numérica del orden de$10^{28}$. Sin embargo, todavía no encontrará un buen acuerdo con el$~345K$valor que espera. ¿Por qué es esto?

Bueno, está sucediendo una segunda cosa más sutil, que es que estás usando una sola velocidad de sonido. En realidad, la velocidad del sonido es diferente en las direcciones (una) longitudinal y (dos) transversal. Si, en cambio, utiliza una velocidad media calculada mediante

$$\bar{v}_s = 3^\frac{1}{3}\left( \frac{1}{v^3_{\mathrm{transverse}}}+\frac{2}{v^3_{\mathrm{longitudinal}}}\right)^{-\frac{1}{3}}$$ te acercarás mucho más al valor experimental. Notará que esta no es una velocidad promedio ordinaria, es simplemente una constante definida en la derivación de la temperatura de Debye.

La tercera cosa que vale la pena mencionar es que la velocidad del sonido dependerá de cómo se hizo la muestra de cobre. El valor$v_s=3800$m/s es la velocidad longitudinal del sonido en varillas delgadas de cobre, mientras que$v_s=4600$m/s es un valor (bastante bajo) para el material a granel.

Buena publicación. Y gracias Anyon por las aclaraciones. Publicaré la solución completa y clara para ese problema con enlaces y números y, al hacerlo, corregiré un pequeño error que cometió Anyon.

Primero, con respecto a la densidad y la masa molar del cobre, tengo

$$\rho = 8960 \text{ kg/m}^{3}$$ y $$M_a = 63.546 \text{ u}$$ que tomé de wikipedia https://en.m.wikipedia.org/wiki/Copper

Esto me da una densidad de

$$\begin{align} {N \over V} & = \frac{1000 \cdot N_A \cdot \rho}{M_a} \\ & = \frac{1000\cdot6.023\times10^{28}\cdot8960}{63.546} \\ & = 8.49\times10^{28} \text{ atom per m}^3 \end{align}$$

Ahora, como dijo Anyon, tenemos 2 ondas de sonido transversales y 1 longitudinal, que tienen las velocidades

$$v_{\mathrm{transverse}} = 2325 \text{ m/s}$$ y $$v_{\mathrm{longitudinal}} = 4760 \text{ m/s}$$ que tomé de https://www.engineeringtoolbox.com/amp/sound-speed-solids-d_713.html

Ahora, al aplicar la fórmula para$\theta_D$, se debe tomar una velocidad de sonido "promedio". Aquí es donde Anyon cometió un pequeño error. Como tenemos 2 transversales y 1 longitudinal la velocidad media se obtiene mediante la formula

$$\bar{v}_s = 3^\frac{1}{3}\left( \frac{2}{v^3_{\mathrm{transverse}}}+\frac{1}{v^3_{\mathrm{longitudinal}}}\right)^{-\frac{1}{3}}$$

Conectando los números, obtenemos

$$\begin{align} \bar{v}_s & = 3^\frac{1}{3}\left( \frac{2}{2325^3}+\frac{1}{4760^3}\right)^{-\frac{1}{3}} \\ & = 2611.69 \text{ m/s} \end{align}$$ Ahora usando la formula $$\theta_D = \frac{\hbar v_s}{k_B} \left( \frac{6\pi^2N}{V} \right)^{1/3}$$ Y conectando los números que tenemos, obtenemos $$\begin{align} \theta_D & = \frac{1.055\times10^{-34}\cdot2611.69}{1.38\times10^{-23}}\left(6\pi^2\cdot8.49\times10^{28}\right)^{1/3} \\ & = 342 \text{ K} \end{align}$$

Lo cual está dentro del valor esperado de 343 K.