Fonones y conducción de calor

Como punto de partida, le sugiero que eche un vistazo a la página de Wikipedia sobre física de transferencia de calor , dispersión de fonones y dispersión de Umklapp .

En general, la conductividad térmica$\kappa$asociado a algún transportista satisface

dónde$n$es la densidad del número de portadores,$c_v$es la capacidad calorífica por portador,$u$es la velocidad de la portadora y$\lambda$es el camino libre medio. El camino libre medio está relacionado con el tiempo de relajación de dispersión de la portadora.$\tau$por

Puedes interpretar$\tau$como el tiempo promedio entre dos "colisiones" sucesivas (eventos de dispersión) del portador. Por lo tanto, desde$\ref{1}$y$\ref{2}$, puedes ver inmediatamente que en un cristal armónico perfecto infinito, en el que no se produce dispersión,$\kappa$sería infinito, ya que no habría dispersión y por lo tanto$\tau = \infty$(en un cristal finito, aún tendría dispersión desde los límites).

En un sistema físico realista, los fonones son dispersados ​​por otros fonones, electrones, defectos (impurezas) y límites. Para tener en cuenta estos efectos, debe abandonar la aproximación armónica y considerar también los términos anarmónicos en el hamiltoniano. Pierls [a] demostró que es la anarmónica, junto con la naturaleza discreta de la red cristalina, lo que genera la resistencia térmica.

En particular, cuando se habla de dispersión fonón-fonón y fonón-electrón, se suele hacer una distinción entre procesos "normales", que conservan el vector de onda total, y procesos "Umklapp" (o procesos U), donde el vector de onda total se cambia por un vector reticular recíproco. Para saber más sobre esta distinción y su (discutible) utilidad, puedes echar un vistazo aquí .

Todos estos eventos contribuyen al tiempo de relajación.$\tau$, y sus contribuciones se tienen en cuenta a través de la regla de Matthiessen , que establece que el tiempo total de relajación$\tau$se puede calcular como

dónde$\tau_i$son los tiempos de relajación asociados a los posibles diferentes eventos de dispersión. Así es como, "matemáticamente", los eventos de dispersión influyen en la conductividad térmica de un material.

¿Cómo explica esta imagen de fonones el hecho de que cuando calentamos un mal conductor el calor se propaga gradualmente desde el extremo más caliente al más frío? Si son excitaciones colectivas deslocalizadas, ¿no deberían calentar todas las partes de la sustancia al mismo tiempo?

Creo que aquí la respuesta es simplemente que necesita algo de tiempo para que se establezca la "excitación colectiva deslocalizada" de la que está hablando. Esto debe ser cierto incluso para un cristal perfecto, incluso si su conductividad térmica infinita parece sugerir lo contrario. , de lo contrario tendríamos la propagación instantánea de una señal (la vibración de los átomos). Piensas en los fonones como "excitación colectiva deslocalizada", pero en realidad son mucho más similares a paquetes de ondas que surgen de una superposición de estas excitaciones colectivas (los modos normales del cristal). Tal vez no estoy siendo 100% preciso en mi terminología aquí, pero espero haber logrado transmitir el significado general de lo que tengo en mente.

Referencias

[a] R. Peierls, "Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen" ("Sobre la teoría cinética de la conducción térmica en cristales") Ann. física 395, 1055-1101 (1929)

La conductividad térmica se define como una relación entre el flujo de energía y el gradiente de temperatura (hasta un factor). Si los fonones se mueven libremente, puede existir un flujo de energía arbitrario sin gradiente de temperatura (por lo que la velocidad finita de los fonones no hace que la conductividad térmica sea definitiva). Consulte los detalles sobre el papel de la dispersión, por ejemplo, en http://www.physics.iisc.ernet.in/~aveek_bid/PH208/Lecture%208%20phonons-thermal%20properties.pdf

Se puede observar propagación balística pero eso necesita condiciones especiales. Normalmente, el transporte es difusivo. A bajas temperaturas, la dispersión está dominada por defectos en la red. Incluso los isótopos tienen un efecto, el diamante con un contenido reducido de$^{13}$C tiene una conductividad térmica más alta que el diamante con la composición de isótopos naturales. Esta dispersión determina el camino libre medio. Mientras$\lambda_{free}$puede ser aproximadamente independiente de la temperatura a bajas temperaturas, la conductividad aumenta con la temperatura porque los fonones transportan más energía (proporcional a$C_v$).

A altas temperaturas, la conductividad térmica disminuye debido al camino libre medio más corto causado por la interacción fonón-fonón. Cuando las variaciones en las longitudes de los enlaces atómicos aumentan, los términos anarmónicos se vuelven importantes. La ecuación de onda ya no es lineal, las ondas ya no siempre se cruzan entre sí, existe la probabilidad de que se creen nuevas ondas (fonones).

Básicamente, voy a explicar lo que se explica en el video aquí, aunque esta respuesta se refiere específicamente a los malos conductores.

Hay dos tipos de dispersión fonón-fonón: dispersión normal y dispersión Umklapp . Si bien ambas dispersiones conservan energía, la primera conserva el impulso del cristal mientras que la última no. Dos fonones acústicos con impulso igual y opuesto$\textbf{q}$(o más precisamente,$\hbar\textbf{q}$) y$-\textbf{q}$en la primera zona de Brillouin puede dispersarse y combinarse para dar un impulso cero ($\textbf{q}=0$) fonón. Será un fonón óptico porque la energía tiene que conservarse y sumarse. Por otro lado, dos fonones acústicos de momentos desiguales$\textbf{q}_1$y$\textbf{q}_2$en la primera zona de Brillouin se dispersa sin conservar el momento del cristal sino solo la energía.

Ahora bien, cuando calentamos un extremo de una barra de algún material y enfriamos el otro, el extremo calentado produce fonones como excitaciones locales. A medida que los fonones se acercan desde el extremo más caliente al más frío, hay un impulso de fonones significativo.$\textbf{q}$en esa direccion. Para la dispersión normal, esperamos que solo se redistribuyan los momentos de los fonones, y no habrá resistencia al flujo de calor. Por otro lado, dado que las dispersiones de Umklapp no ​​conservan el impulso, si el extremo de la fuente de la barra produce localmente una cantidad significativa de fonones con impulso hacia la derecha, después de algunos fonones de dispersión de Umklapp, una buena fracción de ellos se moverá en la dirección opuesta impidiendo el transmisión de calor, lo que explica que el calentamiento de todas las piezas no sea simultáneo. La dispersión Umklapp es el mecanismo dominante de la dispersión de fonones a temperatura ambiente y superior y la tasa de dispersión es proporcional a la concentración de fonones. Resulta que el fonón significa camino libre$\lambda$es inversamente proporcional a la temperatura$T$. El aumento de la temperatura aumentará la concentración de fonones y disminuirá el camino libre medio.