En un material, ¿cómo surge la ecuación del calor a partir de los fonones? ¿Y de los electrones?

Si bien entiendo y valido su pregunta, contiene algunas suposiciones injustificadas. Intentaré dar mi mejor comprensión y espero que se aclare, pero mientras descartas el modelo de Drude-Sommerfeld, el punto central de la comprensión del grupo de renormalización de la materia condensada es que las explicaciones aproximadas generalmente contienen las explicaciones fenomenológicas correctas y relevantes.

1] Para conductores: la idea del teorema de Bloch es justificar el tratamiento de los electrones como un gas libre, ya que, siempre que haya pocas impurezas/defectos, el modelo de Drude-Sommerfeld contiene las explicaciones físicas correctas, el error está en O(1 ) factores. Entonces, si desea comenzar con los electrones de Bloch y las impurezas dispersas, el primer paso es evaluar la sección transversal de dispersión de la mecánica cuántica entre los electrones y los núcleos. Este es un ejercicio QM de libro de texto, pero tendrá que usar la masa efectiva de electrones (dependiente del material) y el potencial de culombio blindado (es solo un término exponencial sobre la interacción de culombio, pero con factor de escala dependiente del material). Una vez que tenga la sección transversal, proceda como de costumbre para el modelo Drude-Sommerfeld como en cualquier libro de texto.

Esto supone la aproximación de Born-Oppenheimer. Si comienzas a trabajar con esto, intercambiarás defectos/impurezas oscilantes por estáticos más fonones. En este caso, use las reglas de Feynman para calcular la nueva sección transversal tomando interacciones fonón-electrón y descubra la corrección. Como es habitual en la teoría de la perturbación, esto solo dará términos adicionales en la sección transversal.

Por lo tanto, el modelo de Drude-Sommerfeld ya contiene la explicación física del transporte de calor en los metales, todas las consideraciones mecánicas cuánticas solo cambiarán los detalles numéricos en la sección transversal de dispersión y, por lo tanto, solo cambiarán el valor numérico de la conductividad térmica. Uno debe preocuparse solo en caso de que tenga muchas impurezas / defectos, entonces podría terminar con un aislador de Anderson, pero luego el teorema de Bloch ya no se aplica. O interacciones fuertes y luego podría tener aisladores Mott. En cualquier caso, vaya a [2]

2] Para aisladores: aquí, aún más simple, los electrones están unidos a los núcleos, por lo que solo buscamos la propagación de fonones. Este es un gas de bosón libre, con correcciones debidas a interacciones fonón-fonón que surgen en la teoría de perturbaciones.

Entonces, puede comenzar con el "verdadero hamiltoniano" de un grupo de átomos que interactúan a través de las fuerzas de Coulomb, aplicar la aproximación de Born-Oppenheimer y luego se queda con bosones y fermiones que interactúan perturbativamente. Trabaje la sección transversal relevante en el orden de acoplamiento deseado y luego siga las indicaciones de Drude-Sommerfeld, que son solo una aplicación de la ecuación de Boltzmann.

Si algo está mal es porque tienes interacciones fuertes, en este caso la teoría de la perturbación no está justificada, y terminas con Anderson Effect o Mott Insulators.

También tenga en cuenta que la ecuación de Fourier solo es válida experimentalmente para materiales sólidos bajo pequeñas diferencias de temperatura. Entonces, una barra de hierro de 10 cm donde cada extremo está bajo temperaturas muy diferentes no obedecerá al intercambio de Fourier, pero también tendrá un transporte similar a una onda (debido a los electrones de Bloch) que puede dominar. Joel Lebowitz escribió un par de artículos a fines de la década de 1990 y principios de la de 2000 sobre las limitaciones experimentales de la ecuación de Fourier.