¿Por qué las ondas de sonido están asociadas con modos que obedecen a una relación de dispersión lineal?

Question

¿Por qué las ondas de sonido están asociadas con modos que obedecen a una relación de dispersión lineal?

SRS

Actualización para aclarar La relación de dispersión para una cadena unidimensional de átomos cada uno de masa $m$ y unidos entre sí por resortes idénticos de constante de fuerza $K$ (que para un medio continuo se convertirá en el módulo de volumen que representa su propiedad elástica) viene dado por

\begin{matrix} (1) & ω (k) = 2 \sqrt{\frac{k}{metro}} | pecado (\frac{k a}{2}) | . \end{matrix}

$\omega(k)=2\sqrt{\frac{K}{m}}|\sin(\frac{ka}{2})|.\tag{1}$ Aquí

a

$a$ denota el espacio de equilibrio entre los átomos.

Observamos que la relación de dispersión (1) no es lineal. Para modos de longitud de onda larga, la ecuación (1) se convierte en

\begin{matrix} (2) & ω = \sqrt{\frac{k}{metro}} (| k | a), \end{matrix}

$\omega=\sqrt{\frac{K}{m}}(|k|a),\tag{2}$ y es un truco estándar leer la velocidad del sonido de (2) usando la fórmula

c_{s} = ω / k

$c_s=\omega/k$ . Para una referencia, véase Ashcroft y Mermin, Eq. 22.29 y 22.31.

Preguntas

$\bullet$ ¿Significa que los modos de longitud de onda pequeña que satisfacen la ecuación (1) pero no la ecuación (2) no pueden ser los portadores de la onda de sonido?

$\bullet$ ¿Por qué en lugar de linealizar (1), calcular la velocidad del grupo $\frac{d\omega}{dk}$ y atribuye eso a la velocidad del sonido?

ZeroTheHero

Entonces, tal vez pueda aclarar brevemente cómo ve cómo una constante de resorte

K

$K$ y una masa

m

$m$ puede posiblemente entrar en la física de la onda de sonido?

SRS

Realmente me gustaría saber la razón de los votos negativos.

ZeroTheHero

No soy el que votó negativamente, así que no puedo responder, pero su pregunta es difícil de seguir: para una cadena de átomos 1d, la onda sería transversal, pero el sonido es longitudinal, por lo que las dos situaciones no coinciden mucho, y mi el comentario original está en pie: ¿cómo ves exactamente la conexión entre los átomos conectados por resortes y las ondas de sonido?

ZeroTheHero

Me acabo de dar cuenta de que estaba pensando incorrectamente en su cadena (por supuesto que puede ser transversal), pero la pregunta sigue siendo: ¿cuál es el análogo de

K

$K$ en ondas sonoras?

SRS

@ZeroTheHero Los átomos se mueven en la dirección de propagación de la onda. ¿Por qué la onda sería transversal? Además, es el truco estándar para linealizar la relación de dispersión de la cadena monoatómica y leer la velocidad del sonido de ella.

SRS

El análogo de K para las ondas sonoras en un medio continuo es su constante elástica, como el módulo de volumen, y el análogo de m es la densidad de ese medio. En mi caso, el medio es discreto.

Respuestas (2)

¿Por qué las ondas de sonido están asociadas con modos que obedecen a una relación de dispersión lineal?

Entonces, tal vez pueda aclarar brevemente cómo ve cómo una constante de resorte $K$ y una masa $m$ puede posiblemente entrar en la física de la onda de sonido?
Realmente me gustaría saber la razón de los votos negativos.
No soy el que votó negativamente, así que no puedo responder, pero su pregunta es difícil de seguir: para una cadena de átomos 1d, la onda sería transversal, pero el sonido es longitudinal, por lo que las dos situaciones no coinciden mucho, y mi el comentario original está en pie: ¿cómo ves exactamente la conexión entre los átomos conectados por resortes y las ondas de sonido?
Me acabo de dar cuenta de que estaba pensando incorrectamente en su cadena (por supuesto que puede ser transversal), pero la pregunta sigue siendo: ¿cuál es el análogo de $K$ en ondas sonoras?
@ZeroTheHero Los átomos se mueven en la dirección de propagación de la onda. ¿Por qué la onda sería transversal? Además, es el truco estándar para linealizar la relación de dispersión de la cadena monoatómica y leer la velocidad del sonido de ella.
El análogo de K para las ondas sonoras en un medio continuo es su constante elástica, como el módulo de volumen, y el análogo de m es la densidad de ese medio. En mi caso, el medio es discreto.

steve byrnes · Answer 1

Su pregunta parece tener la premisa: "La velocidad del sonido es constante por definición, por lo tanto, si los fonones de alta frecuencia se mueven significativamente más rápido o más lento que los fonones de baja frecuencia, esos fonones de alta frecuencia no deben ser ondas sonoras".

Bueno, no estoy de acuerdo con la premisa. La velocidad del sonido depende de la frecuencia. He visto esto declarado, explícita e implícitamente, en palabras y cifras, una y otra vez en toneladas de fuentes diferentes. No creo que sea polémico.

Entonces, ¿por qué en el libro de Ashchroft y Mermin linealizan (1) y definen la velocidad del sonido como una constante? @Steve Byrnes
¿Te refieres a (22.31)? "Esta [relación lineal] es el tipo de comportamiento al que estamos acostumbrados en los casos de ondas de luz y ondas de sonido ordinarias". Si es así, creo que estás leyendo demasiado en esta cita. En las "ondas de sonido ordinarias" en el aire que experimentamos en la vida cotidiana, la dispersión del sonido generalmente no se nota, por lo que estamos "acostumbrados" a pensar en una velocidad de sonido constante (independiente de la frecuencia)... aunque en realidad todos saben que nunca es exactamente constante.

ZeroTheHero · Answer 2

Parece que ha respondido a su propia pregunta ya que, por pequeños argumentos, $\sin(ka/2)\approx ka/2$ . Por lo tanto, la física de su sistema es tal que la relación de dispersión que proporciona es precisamente un límite de longitud de onda larga.

Las relaciones de dispersión rara vez son exactamente lineales, pero por lo general son lineales solo en algún límite. Por ejemplo, la relación de dispersión de una cuerda de piano es de la forma

\frac{ω^{2}}{k^{2}} = \frac{T_{0}}{ρ_{0}} + α k^{2}

$\frac{\omega^2}{k^2}=\frac{T_0}{\rho_0}+\alpha k^2$ dónde

T_{0}

$T_0$ es la tensión en la cuerda,

ρ_{0}

$\rho_0$ es la densidad de masa y

α

$\alpha$ es una pequeña constante positiva que sería

0

$0$ si la cuerda fuera perfectamente flexible. Se recupera la relación de dispersión lineal más usual despreciando la

α k^{2}

$\alpha k^2$ .

Por lo tanto, la relación de dispersión que das es solo la parte dominante de la relación de dispersión completa, en lugar de la relación exacta.

Si considera el sonido en un gas, la física, por supuesto, es diferente ya que los átomos en una cadena están fijos alrededor de una posición mientras que las moléculas en un gas no lo están. Si considera el sonido en un sólido, los valores típicos de $a$ (que sería el espacio entre los átomos en la cadena) será muy pequeño y los valores de $k=2\pi/\lambda$ sería del orden de la inversa de la longitud de la cadena, es decir, también pequeña. es decir, las longitudes de onda más largas que puede caber en su cadena serán del orden de la cadena misma. Ambos argumentos apuntan a $ka/2$ siendo típicamente bastante pequeño y así justificar la aproximación $\sin(ka/2)\approx$ ka/2$.

¿Por qué las ondas de sonido están asociadas con modos que obedecen a una relación de dispersión lineal?

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Respuestas (2)

steve byrnes

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