¿Densidad numérica de fonones LO y LA en función de la temperatura?

Me gustaría saber cómo varía la densidad numérica de los fonones ópticos longitudinales (LO) y acústicos longitudinales (LA) en función de la temperatura del material. ¿Hay una expresión simple para estos dos casos?

Supongo que esto funcionaría,

norte L O = ∫ gramo L O ( mi ) F ( mi , T ) d mi

norte L A = ∫ gramo L A ( mi ) F ( mi , T ) d mi

dónde gramo ( mi ) es la densidad de estados para los fonones LO y LA y F es la distribución de Bose-Einstein. ¿Cuáles serían los límites apropiados para las integrales? ¿Alguien sabe una referencia donde se da la densidad de estados para estos dos modos?

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Para mejorar la pregunta, me interesan los cristales 3D de semiconductores. Pero tal vez dejé esto demasiado tiempo, lo siento.

Saludos,

Seguro que me parece bien. Por supuesto, la distribución de Bose-Einstein permite números de ocupación mayores que uno.
Pregunta número uno: ¿quieres resultados experimentales o teóricos? Pregunta número dos: ¿qué tipo de materiales? ¿Cristales puros, cristales con defectos, sólidos arbitrarios?
@Marek; Me parece que las ecuaciones deberían funcionar independientemente del material. ¿Puedes corregirme en esto? Estoy pensando que simplemente tendrían diferentes gramo ( mi ) .
@Carl: ¿está diciendo que la dependencia de la temperatura para cualquier material solo está presente en la parte de la fórmula de Bose-Einstein? Esta declaración parece bastante obvia y probablemente también esté equivocada.
@Marek; Oh no, ya veo lo que quieres decir. Sí, por supuesto que habrá T dependencia de ambos.
@Carl: cierto. Pero todavía no entiendo qué busca OP. Si después de la derivación teórica de gramo basado en algún modelo de juguete, o datos experimentales sobre gramo para alguna clase de materiales.
Nunca es demasiado tarde para intentar una respuesta ;-)
Creo que los fonones ópticos tienen una frecuencia demasiado alta para tener excitaciones apreciables a temperaturas normales (ya que están excitados ópticamente , por lo que requieren una temperatura que tenga radiación de Planck visible), y puede buscar el espectro estándar de Debye para el largo- fonones acústicos de longitud de onda a temperatura T. Su expresión es correcta, pero la densidad de los estados de los fonones ópticos es solo distinta de cero, muy lejos de la energía cero, mientras que los fonones acústicos tienen una densidad de estados de ley de energía cercana a cero, por lo que obtienen el espectro de Debye.
@RonMaimon: los fonones de hasta 25 meV pueden excitarse con energías térmicas, por lo que existe una contribución apreciable al DOS de fonones a temperatura ambiente de los fonones ópticos. Además, lo "óptico" en el fonón óptico resulta del acoplamiento de la luz al momento dipolar oscilante de los iones involucrados, lo que permite su detección, no solo la capacidad de ser activado por la luz. Además, "óptico" se usa de manera más general para caracterizar "no acústico", por lo que incluso los modos no activos de Raman llevan este apodo.
"¿Cuáles son los límites apropiados para estas integrales?" ¿Parece estar pensando que hay frecuencias de fonones desde 0 hasta el infinito? En realidad, solo abarcan un rango finito, es decir, cada tipo de cristal tiene una frecuencia de fonones máxima finita. Debes integrar todo ese rango finito. (Por supuesto, tiene derecho a ignorar una parte del rango si g*f está lo suficientemente cerca de cero allí).
Cada vez que Community vuelve a traer esto a la portada, escucho a los Doors cantando su exitoso sencillo "LA Phonon".
@SteveB Sí, después de unos años, ahora aprecio que hay una frecuencia máxima de fonones (aquellos en el borde de la zona) :) Entonces creo que eso impone los límites en la ecuación anterior. Gracias. A frecuencias más altas, se producirá un plegamiento de zonas que dará bandas de energía más altas. Para calcular la densidad numérica, ¿es válido integrar solo sobre una celda unitaria?
@boyfarrell: nuevamente, cada tipo de cristal tiene una frecuencia de fonón máxima finita. El fonón de frecuencia más alta suele ser uno de los fonones ópticos en k=0, aunque puede estar en un k diferente en algunos cristales. NO hay infinitas bandas de fonones en frecuencias cada vez más altas. (Este es el caso de las bandas de electrones pero no de las bandas de fonones). El número de bandas de fonones está relacionado con el número de átomos en una celda unitaria.
@SteveB sí, por supuesto, lo sé (error en mi último comentario). Lo que realmente quería decir es que entiendo por qué hay un límite superior e inferior en la integración. Gracias por la información sobre el plegado de zonas, eso no me quedó claro.

Respuestas (2)

Los diferentes tipos de fonones no pueden considerarse como sistemas separados. Son oscilaciones del mismo cristal e interactúan entre sí.

Por ejemplo, la vida útil del fonón LO es de aproximadamente 10 − 12 - 10 − 11 segundos mientras que el período de las oscilaciones es de aproximadamente 10 − 13 segundos (GaAs). Al final se convierte en dos fonones LA que corren en direcciones opuestas.

La distribución de Bose-Einstein describe el equilibrio termodinámico de todo el sistema de fonones. Debes integrar todos los modos.

La densidad de estados puede estimarse numéricamente o medirse experimentalmente. Ambos suelen dar resultados similares que se pueden encontrar, por ejemplo, en el capítulo 3 de "Fundamentos de Semiconductores" de Peter Y. Yu y Manuel Cardona .

Las principales técnicas experimentales son

Esta respuesta es técnicamente correcta, pero si la interacción es lo suficientemente débil (como creo que será para este caso), puede describir los fonones ópticos y los fonones acústicos con distribuciones separadas de Bose-Einstein para campos libres y no estar demasiado lejos. apagado. La pregunta no es si interactúan, sino si la energía promedio de un fonón óptico en el fondo térmico de los fonones acústicos cambiará significativamente (y viceversa). Mi impulso es que la óptica está ausente a una temperatura razonable, mientras que los fonones acústicos de longitud de onda larga tienen un espectro Debye casi perfecto.
@Maksim, sugeriría que incluya la dispersión de neutrones con la aplicación adecuada de la aproximación incoherente en lugar de solo la espectroscopia Raman, ya que no todos los modos de fonones ópticos son activos en Raman.
@RonMaimon, nunca escuché nada sobre el estado de cuasi-equilibrio de los fonones ópticos. Para permitir que exista este equilibrio, debe haber algún mecanismo de interacción entre el fonón LO y el fonón LO con un tiempo característico mucho más corto que el tiempo de caída. Esta es una pregunta interesante.

Los fonones LA tienen

mi = ℏ ω = ℏ C k
dónde C es la velocidad del sonido (longitudinal), por lo que tiene una densidad de estados exactamente igual a la de los fotones (con un valor diferente de velocidad y un factor de 1/2 ya que solo hay un estado de polarización), por ejemplo
gramo ( mi ) = V ( ℏ C ) − 3 2 − 1 π − 2 mi 2
y esto sólo es rigurosamente cierto para valores bajos de k o mi . Y, solo hay norte modos. Un modelo común es suponer que sólo existe el número de k es para que haya norte modelos pero que la forma para gramo es por lo demás exacto. Este modelo "Debye" se explica razonablemente bien en wikipedia.

Los fonones LO son una historia diferente. Aquí el modelo simple es que tienen una sola frecuencia y hay norte de ellos, ese es más o menos un modelo de Einstein (también explicado en wikipedia).

¿Densidad numérica de fonones LO y LA en función de la temperatura?
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