¿Por qué la teoría de perturbaciones implica una serie de Taylor en lugar de una serie de Laurent?

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¿Por qué la teoría de perturbaciones implica una serie de Taylor en lugar de una serie de Laurent?

Física
cálculo
singularidades
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mecánica cuántica
teoría de la perturbación

gritar y calcular

La teoría de la perturbación en QM y QFT generalmente se explica en términos de una pequeña expansión de parámetros $\epsilon$ y ampliado en una serie de Taylor.

O (t) = O_{0} (t) + ϵ O_{1} (t) + ϵ^{2} O_{t} (t) + . . .

$O(t)=O_0(t)+\epsilon O_1(t)+\epsilon^2 O_t(t)+...$

Sin embargo, si recordamos el curso en transición del cálculo real al análisis complejo, hay una transición enfatizada de una serie de Taylor a una serie de Laurent, donde se incluyeron los términos del orden divergente, es decir

ϵ^{- 1} O_{- 1} (t) + ϵ^{- 2} O_{- 2} (t) + . . .

$\epsilon^{-1} O_{-1}(t)+\epsilon^{-2} O_{-2}(t)+...$

Pero aunque los números complejos se usan popularmente, el enfoque de perturbación se construye a partir de la serie de Taylor (al menos en QM y QFT), y rara vez se usaron series de Laurent (excepto quizás ramas especiales como cadenas). Esto parece ser un poco contrario a la intuición desde una perspectiva matemática, y aparentemente indica algunas estructuras o suposiciones construidas en la derivación de las teorías.

¿Por qué la teoría de perturbaciones implica una serie de Taylor en lugar de una serie de Laurent en QM y QFT?

una mente curiosa

¿Cuál sería el punto de hacer la teoría de la perturbación donde el parámetro de perturbación

ϵ

$\epsilon$ es pequeño y luego tiene términos que crecen a medida que

ϵ

$\epsilon$ se hace mas pequeño? El punto central de la "perturbación" es que el efecto se vuelve cero cuando

ϵ

$\epsilon$ va a 0. ¿Puedes señalar algo específico en la teoría de perturbaciones estándar donde creas que la expansión de algo en una serie de Taylor en lugar de una serie de Laurent es incorrecta? Después de todo, la teoría de la perturbación no se basa en "utilicemos algunas series de Taylor porque nos encantan las series de Taylor", se basa en "¿qué sucede si este parámetro aquí es pequeño"?

Javier

Las series de Laurent se usan todo el tiempo en la teoría de campos conformes, pero el parámetro es la distancia, y se espera que las cosas diverjan a distancias pequeñas. Una perturbación debería, por definición, converger a algo cuando el parámetro tiende a cero.

gritar y calcular

@ACuriousMind La función de correlación de un punto en una cadena bosónica era divergente y aún "útil", y especialmente hay muchos polos en el análisis complejo, pero también fueron útiles a través del contorno y los residuos. O tal vez

O_{- 1}

$O_{-1}$ convergió más rápido que

ϵ

$\epsilon$ (a través del ajuste) enfoque para

0

$0$ . En algunos casos, la serie de Laurent fue más útil cuando las cosas se hicieron pequeñas porque la mayoría de las funciones eran asintóticamente cero, por lo que algunos caminos podrían ser ceros.

ϵ

$\epsilon$ puede ser pequeño pero no "lo suficientemente pequeño", como en muchos casos prácticos, excepto el ajuste fino.

una mente curiosa

No digo que la serie de Laurent no pueda ser útil; digo que, por la noción misma de lo que es una "perturbación", lo que sea que estés haciendo cuando usas la serie de Laurent no es una teoría de la perturbación.

gritar y calcular

@ACuriousMind Ya veo. Gracias. Entonces, técnicamente, la "perturbación" por definición funcionó con el dominio restringido en el que la serie de Laurent no pudo obtener los resultados útiles (¿y luego, a veces, la renormalización remendó los diferentes dominios juntos?) serie que necesariamente debe realizarse que la serie de Taylor? Por ejemplo, si hay un caso para eliminar predicativamente un infinito en orden inferior.

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Matemáticamente, si una función

f (x)

$f(x)$ es regular (analítico) en

x = 0

$x=0$ , se puede expandir como una serie de Taylor (no de Laurent) en

x

$x$ alrededor

x = 0

$x=0$ . Para la mayoría de los resultados físicos, el resultado es regular (es decir, no explota) en

ϵ = 0

$\epsilon=0$ , dónde

ϵ

$\epsilon$ es su pequeño parámetro, por lo que una serie de Taylor en

ϵ

$\epsilon$ es apropiado.

Respuestas (2)

¿Por qué la teoría de perturbaciones implica una serie de Taylor en lugar de una serie de Laurent?

¿Cuál sería el punto de hacer la teoría de la perturbación donde el parámetro de perturbación $\epsilon$ es pequeño y luego tiene términos que crecen a medida que $\epsilon$ se hace mas pequeño? El punto central de la "perturbación" es que el efecto se vuelve cero cuando $\epsilon$ va a 0. ¿Puedes señalar algo específico en la teoría de perturbaciones estándar donde creas que la expansión de algo en una serie de Taylor en lugar de una serie de Laurent es incorrecta? Después de todo, la teoría de la perturbación no se basa en "utilicemos algunas series de Taylor porque nos encantan las series de Taylor", se basa en "¿qué sucede si este parámetro aquí es pequeño"?
Las series de Laurent se usan todo el tiempo en la teoría de campos conformes, pero el parámetro es la distancia, y se espera que las cosas diverjan a distancias pequeñas. Una perturbación debería, por definición, converger a algo cuando el parámetro tiende a cero.
@ACuriousMind La función de correlación de un punto en una cadena bosónica era divergente y aún "útil", y especialmente hay muchos polos en el análisis complejo, pero también fueron útiles a través del contorno y los residuos. O tal vez $O_{-1}$ convergió más rápido que $\epsilon$ (a través del ajuste) enfoque para $0$ . En algunos casos, la serie de Laurent fue más útil cuando las cosas se hicieron pequeñas porque la mayoría de las funciones eran asintóticamente cero, por lo que algunos caminos podrían ser ceros. $\epsilon$ puede ser pequeño pero no "lo suficientemente pequeño", como en muchos casos prácticos, excepto el ajuste fino.
No digo que la serie de Laurent no pueda ser útil; digo que, por la noción misma de lo que es una "perturbación", lo que sea que estés haciendo cuando usas la serie de Laurent no es una teoría de la perturbación.
@ACuriousMind Ya veo. Gracias. Entonces, técnicamente, la "perturbación" por definición funcionó con el dominio restringido en el que la serie de Laurent no pudo obtener los resultados útiles (¿y luego, a veces, la renormalización remendó los diferentes dominios juntos?) serie que necesariamente debe realizarse que la serie de Taylor? Por ejemplo, si hay un caso para eliminar predicativamente un infinito en orden inferior.
Matemáticamente, si una función $f(x)$ es regular (analítico) en $x=0$ , se puede expandir como una serie de Taylor (no de Laurent) en $x$ alrededor $x=0$ . Para la mayoría de los resultados físicos, el resultado es regular (es decir, no explota) en $\epsilon=0$ , dónde $\epsilon$ es su pequeño parámetro, por lo que una serie de Taylor en $\epsilon$ es apropiado.

Henrique Calazans Prates · Answer 1

Esta es una buena pregunta. Sin embargo, observe que la idea detrás de la teoría de la perturbación es poder escribir $O(t)$ como $O_0(t) \ +$ términos de orden superior, que deberían ser mucho menos relevantes, es decir,

| ε^{k} O_{k} (t) | ≪ | O_{0} (t) |, \forall k > 0

$\begin{equation} |\varepsilon^k O_k(t)|\ll |O_0(t)|, \forall k>0 \end{equation}$ Por lo tanto, usted está interesado principalmente en el caso

ε \to 0

$\varepsilon \to 0$ . Entonces no tiene mucho sentido considerar la serie de Laurent: solo está introduciendo divergencias innecesarias.

picop · Answer 2

En general, como se ha dicho, es bueno si el observable que está tratando de calcular está bien definido como $\epsilon\to0$ .

Sin embargo, hay ciertos fenómenos que pueden ocurrir y que van en la dirección que mencionas. En primer lugar, cuando $\epsilon$ es el parámetro de regularización dimensional (un esquema de regularización cuando nos deformamos de las 4 dimensiones enteras a $4+\epsilon$ ), las divergencias infrarrojas de las teorías que las padecen, como la de Yang-Mills, aparecen como términos de orden superior en $1/\epsilon$ , pero esta es la señal de que algo anda mal con el modelo.

Además, un fenómeno muy físico que generaliza la expansión de Taylor que mencionas, y ocurre en QM y QFT, es la presencia de efectos no perturbativos (instantones, etc.) que se manifiestan como $\exp(-1/g)$ efectos Por lo tanto, son invisibles en la expansión de Taylor cerca del acoplamiento débil. $g=0$ pero sí afectan la sumabilidad de la serie perturbativa.

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Javier

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Henrique Calazans Prates

picop

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