¿Cómo se expande ⟨x′−Δx′|α⟩⟨x′−Δx′|α⟩\langle x'-\Delta x'\rvert \alpha\rangle?

tienes que derivar la expansión de Taylors. No daré la prueba completa, pero daré cómo proceder.

$$f(x)-f(x_0)=\int^{x}_{x_{0}}f'dx$$ y $$f'(x)-f'(x_0)=\int^{x}_{x_{0}} f''dx$$ entonces, si reemplazas el último por el primero, tendrías

$$f(x)-f(x_0)=\int^{x}_{x_{0}}f'(x_0)dx+\int^{x}_{x_{0}}\int f''(x)dx$$ y $$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\int^{x}_{x_{0}}\int f''(x)dx$$

por inducción puedes encontrar más términos pero en tu pregunta los dos primeros son suficientes. entonces tienes que tratar tu producto interno como$f(x)$eso te dará la respuesta.