¿Por qué la teoría de cuerdas es una teoría de campo cuántica (conforme) bidimensional en su hoja de mundo?

Sí, uno puede discutir la mecánica cuántica ordinaria basada en partículas puntuales utilizando la teoría del campo cuántico de 0+1 dimensiones (es decir, la mecánica cuántica) definida en la línea del mundo. Así es como comienzan varios libros de texto de teoría de cuerdas, incluido el libro de texto de Polchinski.

Las funciones de Green$G(x,y)$se pueden calcular como una "suma de Feynman tradicional sobre todas las líneas del mundo" y se asignan a la amplitud de transición para que la partícula pase de un punto a otro. Sin embargo, para hacer que las partículas puntuales interactúen, como en un QFT, se necesitan líneas universales singulares con uniones, que se parecen a los vértices en los diagramas de Feynman o los diagramas completos. No es una coincidencia: los diagramas de Feynman describen la topología de las líneas del mundo en las historias relevantes en las que las partículas puntuales se fusionan y dividen.

Una ventaja de la teoría de cuerdas, y una razón por la que en última instancia es UV finita, es que las hojas del mundo son suaves y no singulares incluso si se permiten las interacciones de las partículas (cuerdas), es decir, si las cuerdas se unen y se dividen.

El impulso de la hoja mundial a lo largo de la$\sigma$la dirección de la hoja del mundo se conoce como$L_0-\tilde L_0$, y este operador desaparece. Solo los estados cuyo valor propio bajo este operador son cero son estados físicos de una cadena (existen condiciones adicionales).

Hay una razón simple por la que el impulso tiene que ser cero. La teoría en la hoja del mundo es una teoría bidimensional de la gravedad, porque la elección de las coordenadas$(\sigma,\tau)$en la hoja del mundo es y tiene que ser afísico (simetría de difeomorfismo). Y como en otras teorías de la gravedad, uno puede derivar algo como las ecuaciones de Einstein. En$d=2$dimensiones, el tensor de Einstein$R_{ab}-Rg_{ab}/2$es idénticamente igual a cero, por lo que las ecuaciones de Einstein se reducen a

$$T_{ab} = 0$$ lo que también implica que la densidad de cantidad de movimiento $T_{++},T_{--}$y el impulso total también, entre otras cosas, tiene que desaparecer.

En base a "excitaciones discretas de la cuerda", la condición$L_0-\tilde L_0=0$porque la desaparición del momento total se traduce a la condición de que la "excitación total de los cuantos que se mueven a la izquierda" es la misma que para los "cuantos que se mueven a la derecha" para una cuerda cerrada (pueden surgir cambios aditivos en esta ecuación debido a la suma de todos los números enteros, etc.). Para cuerdas abiertas, la condición correspondiente no existe porque la simetría de traslación a lo largo de la$\sigma$la dirección de la hoja del mundo se rompe explícitamente por los puntos finales de la cadena abierta.

Una teoría general de la gravedad como la de Einstein siempre estaría mal definida a nivel cuántico debido a varias divergencias. La teoría de la hoja mundial que describe la teoría de cuerdas perturbativa es una teoría especial de 1+1 dimensiones de la gravedad cuántica que evita este problema porque no contiene ningún grado de libertad físico del campo tensorial métrico. Es porque los tres componentes del tensor métrico$h_{\tau\tau},h_{\tau\sigma},h_{\sigma\sigma}$puede establecerse localmente en valores no singulares predeterminados mediante 3 parámetros que son funciones de$\sigma,\tau$también, a saber, por dos parámetros para un difeomorfismo y un parámetro para la escala de Weyl (diferente para cada punto). Es por eso que la simetría de Weyl es necesaria para la consistencia de la teoría de cuerdas en el formalismo espacio-tiempo-covariante de Lorentz. La simetría conforme es la simetría residual que queda del difeomorfismo y las simetrías de Weyl, incluso después de que calibramos una forma privilegiada de la métrica de hoja mundial. Las transformaciones conformes son aquellas que conservan los ángulos, es decir, conservan la métrica hasta una escala de Weyl (que también se puede hacer porque es una simetría).