¿Es trivial una CFT cuantizada en un espacio plano?

Mi comprensión de CFT (como se enseña en una clase introductoria, por ejemplo) es que trabajamos en la firma euclidiana y cuantificamos en una esfera de radio R . El espectro viene dado por los pesos conformes Δ de los operadores primarios (a través del mapeo de estado-operador) y sus descendientes a través de

mi norte = Δ norte R .

Si tuviéramos que cuantificar en lugar de una rebanada de espacio plano, obtendríamos un espectro trivial mi norte = 0 ya que no hay escala de energía. Esto también se puede ver tomando R → ∞ arriba. Entonces, el espectro en el espacio plano es trivial.

Dado que, en casi todos los ejemplos que he encontrado, una teoría cuántica se especifica por su espectro, ¿es correcto decir que CFT cuantizado en un espacio plano es trivial? ¿Hay sutilezas?

Editar: hay un error en esta pregunta, que la teoría sobre el espacio plano tiene un espectro trivial, según el comentario. (La inexistencia de una escala masiva solo prohíbe una brecha, no un espectro por completo). Este es un punto que me gustaría entender mejor.

En un espacio plano infinito, uno espera que el espectro sea normalmente continuo, mi ∈ [ 0 , ∞ ) , no banal.
DE ACUERDO. ¿Es incorrecto tomar la R → ∞ límite del espectro cuantificado radialmente?
¿Puedes recuperar el espectro del espacio plano (o densidad de estados) del espectro cuantizado radialmente?
Recuerda que el Δ son los valores propios del operador de dilatación, que es el hamiltoniano en cuantización radial. Pero en la cuantización habitual de segmentos de tiempo, el hamiltoniano se convierte en PAG 0 , que tiene un espectro diferente.

Respuestas (1)

Si tomas el límite de Δ norte R para R → ∞ con fijo norte obtienes cero, pero ten en cuenta que también tienes infinitas Δ norte . Por lo tanto, podría ser posible (y de hecho es cierto) que tomando el límite norte → ∞ al mismo tiempo de manera apropiada terminas con un resultado distinto de cero para infinito R . Entonces puedes concluir inmediatamente que el espectro es [ 0 , ∞ ) , porque escalando la simetría para cada estado de energía mi hay un estado de energia λ mi para cualquier dado λ > 0 .

Déjame darte un ejemplo simple: considera la ecuación de Laplace en un círculo de longitud L . Sus valores propios son λ norte ( L ) := ( norte L ) 2 dónde norte es un número entero. Para cualquier dado norte el límite de λ norte ( L ) para L → ∞ es cero Por otro lado, para cada finito L el espectro no está acotado arriba. Se vuelve más y más denso en la línea media. [ 0 , ∞ ) como L está incrementado. En este sentido, recupera el espectro correcto del operador de Laplace en R en el limite L → ∞ .

Gracias, eso es útil. En el ejemplo que diste, si no me equivoco, uno puede encontrar la densidad de autoestados para el laplaciano en la línea real ρ ( mi ) ∝ mi − 1 / 2 . Del mismo modo, ¿se puede obtener ρ ( mi ) para un CFT en espacio plano usando el Δ norte ? ¿Quizás incluso en algún límite, utilizando la fórmula de Cardy?
No estoy seguro de si esto es exactamente lo que está buscando, pero puede estar interesado en leer sobre el formalismo de Luscher, que se ocupa de extraer amplitudes continuas de energías propias de volumen finito (incluso de red). Obviamente, esto está relacionado con cuestiones sobre la densidad de estados. Esto no está restringido a CFT, sino que es una propiedad bastante general de la teoría cuántica de campos.
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