¿Por qué la superficie de un toro es plana?

¿Por qué se dice que la superficie de un toro es plana? Si considera la geometría del toro, su superficie tiene curvatura localmente positiva (esférica), negativa (hiperbólica) y plana.

¿ Sería Matemáticas un mejor hogar para esta pregunta?
El origen de la confusión y el desacuerdo entre las respuestas es la suposición implícita y errónea en la pregunta de que existe algo así como " la geometría del toro". El toro (como una variedad suave) tiene muchas geometrías diferentes (métricas de Riemann). Algunos de estos serán planos, mientras que otros no serán planos. Esto es similar al hecho de que no existe tal cosa como " el precio del automóvil": diferentes automóviles tendrán diferentes precios.

Respuestas (3)

No todos los toros son planos.

Un toro bidimensional es cualquier espacio topológico que es homeomorfo (topológicamente equivalente) a un producto de dos círculos. Sin embargo, conocer la topología no es suficiente para brindarle información sobre la curvatura: debe especificar una métrica riemanniana en el toro si desea obtener datos geométricos como este. Una métrica son datos adicionales sobre la estructura topológica.

El toro con el que está más familiarizado se puede obtener girando un círculo alrededor de una línea. Este toro (una "rosquilla") hereda una métrica de Riemann del espacio ambiental en el que está incrustado. Con esta métrica, este toro no es plano: como observa, tiene regiones de curvatura tanto positiva como negativa.

¡Sin embargo, algunos tori son planos! El ejemplo más sencillo es el universo PacMan: un cuadrado donde si sales por un lado, apareces por el otro lado. En otras palabras, el borde izquierdo se ha "identificado" con el borde derecho y el borde superior se ha "identificado" con el borde inferior. Sin embargo, en lo que respecta a PacMan, su universo no es curvo. Para ser precisos, cuando transporta en paralelo un vector alrededor de un bucle pequeño, obtiene exactamente el mismo vector con el que comenzó. Este toro plano no se puede incrustar en R 3 , pero se puede incrustar en R 4 como describe Mozibur en su respuesta.

La curvatura gaussiana es "intrínseca": se puede calcular solo a partir de la métrica. Más intuitivamente, una hormiga que vive en una rosquilla incrustada en el espacio 3D podría decir que su hogar es curvo: podrían verificar que el teorema de la suma de ángulos no es cierto dentro de una aproximación de primer orden, o que el transporte paralelo de vectores cambia los vectores. Nada de esto depende de la conciencia de la incrustación. Las curvaturas "extrínsecas" aquí son las "curvaturas principales", sobre las cuales la hormiga no puede decir nada.

Ahora bien, esta es una buena respuesta! ¿De qué está hablando el otro respondedor? La curvatura negativa alrededor de la boca de la rosquilla es quizás un artefacto y tal vez irrelevante, pero sigue siendo una curvatura negativa. +1!

La métrica en un círculo S 1 es único, siempre es plano y por lo tanto su curvatura riemanniana siempre desaparece.

Sin embargo, hay una familia de métricas en el toro T 2 := S 1 × S 1 . Uno de estos es una métrica plana. Todas estas métricas son intrínsecas

Sin embargo, la métrica plana en cierto sentido tiene derecho a ser una métrica intrínseca y la métrica habitual en cierto sentido es una métrica extrínseca.

El toro se puede definir como el producto de dos círculos:

T 2 := S 1 × S 1

Como se anulan las curvaturas de Riemann de ambos factores (ya que se anula la curvatura de cualquier círculo), también se anula la curvatura de Riemann del toro. Y esto da la métrica plana en el toro. Así, la métrica plana aparece de forma natural sin que se considere ninguna incrustación en ningún espacio, ni para los factores circulares ni para el propio toro.

También es posible incrustar el toro suave sin problemas en el espacio de 3 y este último espacio tiene una métrica que podemos inducir en el toro de 3. Por lo tanto, esta métrica es naturalmente inducida extrínsecamente, aunque nuevamente es una métrica intrínseca.

De hecho, el toroide plano se puede incrustar en el espacio de 4 de tal manera que su métrica se induzca a partir de la métrica del espacio de 4. Esta incrustación se llama el toro de Clifford. Además, es la métrica del toro rectangular. Este es el toro construido a partir de un rectángulo al identificar los lados opuestos y podemos ver directamente aquí que la métrica es plana porque el rectángulo es plano.

¿La boca del toro no tiene una curvatura negativa? ¿No están divergiendo los rayos de luz que viajan desde el círculo más interno al más externo?
@felicia: Eso es un artefacto de incrustar el toro en 3d. Se puede incrustar en 4d con curvatura extrínseca que se desvanece.
Puedes experimentar el toro plano tú mismo consiguiendo una copia de Final Fantasy 4, 5 o 6 en Super Nintendo y luego jugando lo suficiente como para obtener una aeronave.
@Matthew Drury también Pacman
Esta respuesta parece decir que la curvatura de un toro es un artefacto de la incrustación. Esto no es verdad. Una métrica de Riemann es una estructura adicional sobre la estructura topológica. Si le entrego un toroide topológico, no hay una métrica canónica para ponerle. La elección de la métrica determina la curvatura. Por Gauss Bonnet, la curvatura promedio debe ser cero, por lo que la curvatura debe desaparecer en algunos puntos, pero eso es todo lo que podemos decir. La curvatura "intrínseca" puede variar. OP tiene razón en su comprensión de la curvatura "intrínseca" del toro incrustado.
@steve Gubkin: Err, dado que estamos hablando de curvatura, está implícito que necesitamos una variedad con una métrica, es decir, un espacio de Riemann. Tu crítica es irrelevante. Si todo lo que está hablando es 'estructura adicional'. Entonces, una topología es una estructura adicional sobre el conjunto de puntos. Sin él, por supuesto, no podrías decir que un toro es continuo.
¿Estás diciendo que cada toro es "intrínsecamente" plano? Su respuesta parece estar diciendo esto.
@Steve Gubkin: Sí.
Esto es incorrecto. La curvatura intrínseca de muchos toros no es plana. Por ejemplo, el toroide estándar incrustado en 3 espacios hereda una métrica de Riemann de esta incrustación. La curvatura no es cero.
La curvatura gaussiana es "intrínseca": se puede calcular solo a partir de la métrica. Más intuitivamente, una hormiga que vive en una rosquilla podría decir que el espacio es curvo: podrían verificar que el teorema de la suma de ángulos no es cierto dentro de una aproximación de primer orden, o que el transporte paralelo de vectores cambia los vectores. Las curvaturas "extrínsecas" aquí son las "curvaturas seccionales", sobre las cuales la hormiga no puede decir nada.
Creo que todos ustedes están hablando un poco entre sí. Una variedad diferencial no tiene una métrica de Riemann "intrínseca" (definida aquí como una métrica de Riemann definida únicamente por la estructura diferenciable), puede llevar muchas muy diferentes, hasta algunas obstrucciones globales que están determinadas por la estructura diferencial (provenientes de cosas como clases características del haz tangente). Entonces, en el sentido de que el toro es una variedad diferencial , no tiene una métrica riemanniana "intrínseca". En este sentido, no es (visto como una variedad uniforme) intrínsecamente plano.
@JoelKeene ¡Me gusta el ejemplo final de fantasía porque puedes volar a lo largo de todas las geodésicas!
@MatthewDrury No creo que estemos hablando entre nosotros. Creo que Mozibur tiene un malentendido sobre la curvatura. Dice arriba que entiende que estamos discutiendo variedades de Riemann. Luego dice que todo toro es plano.
@Steve Gubkin: Dije que cada toroide riemanniano intrínseco es plano. Sin embargo, esto no es del todo correcto. El toro admite una familia de métricas y estas se clasifican por R^2/SL(2,\mathhbb{R}). Es cierto, sin embargo, que el toro de Riemann producto que se construye a partir de S 1 × S 1 es plano. Esto se debe a que cada factor es plano. Esto es lo que llamé el toro intrínseco. Esto se puede incrustar isométricamente en R 4 . Sin embargo, no se puede incrustar isométricamente en R 3 . Sin embargo, tal toroide puede ser suave y esto tiene una métrica inducida proveniente de su incrustación...
@Steve Gubkin: ... en 3 espacios. Esta métrica no es plana. Por lo tanto, hay una buena razón para decir que esta métrica no es intrínseca (aunque lo sea).
@Steve Gubkin: Hasta cierto punto, hablábamos entre nosotros. Aunque también hasta cierto punto, mi respuesta no fue tan clara como debería haber sido. Y hasta cierto punto, tampoco lo fue tu comentario, aunque me empujó a ser más claro.
@Matthew Drury: Tiene razón en que un toro suave no es plano porque no tiene una métrica. Pero esto no es suficiente, porque decir que algo no es plano generalmente significa que tiene una métrica que no es plana y no que no tiene ninguna métrica, en cuyo caso la afirmación se vuelve vacía. Aún así, gracias por la aclaración.
@MoziburUllah El toro no solo tiene una familia de métricas clasificadas por R 2 / S L ( 2 , R ) . Puedes perturbar la métrica localmente como quieras (puedes hacer un parche tan raro como quieras usando particiones de unidad). Sin embargo, a nivel mundial, el promedio seguirá siendo cero según Gauss-Bonnet. No estás usando la palabra "intrínseco" en la forma en que lo hacen los matemáticos. Se podría decir que la métrica "canónica" del toro (como producto de dos círculos) es plana. "Intrínseco" significa que se puede calcular solo a partir de la métrica, no de la incrustación.
En realidad, ni siquiera necesita particiones de unidad: tome cualquier paralelogramo P, tome cualquier función periódica P positiva f y defina una métrica de Riemann en el toro R 2 / PAG . Una f constante dará un toro plano, pero cuando f no es constante obtienes curvatura.
@Steve Gubkin: quise decir hasta el isomorfismo. Tori con una métrica están en biyección con R 2 cocientes por celosías y estas también están en biyección con curvas elípticas complejas. Es esta clase de métrica de isomorfismo a la que me refiero. Estoy usando intrínseco en el sentido tradicional y en otro sentido que he explicado.
@Steve Gubkin: Dijiste antes que la curvatura seccional no es intrínseca. Sin embargo, dado que la curvatura de la sección se puede determinar a partir de la curvatura de Riemann y esta última es intrínseca, entonces también debe serlo la curvatura de la sección. ¿O no estás de acuerdo?
@Steve Gubkin: Quiero decir, ¿estabas usando un sentido no tradicional de intrínseco allí o fue un malentendido de lo que es y lo que implica la curvatura seccional?
Es la curvatura cero la que es un artefacto de la incrustación en 4d. Una capa esférica tiene curvatura positiva, solo transporta un vector en paralelo en una línea cerrada. Lo mismo vale para el exterior del toro. Un cilindro tiene curvatura cero. No es un toro.

El toro bidimensional habitual tiene una curvatura gaussiana positiva en el exterior y negativa en el interior. Tan sencillo como eso.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_curvature

No existe tal cosa como "el toro habitual", lo que quisiste decir es el toro de revolución en el espacio 3D obtenido al girar un círculo alrededor de una línea recta. Para muchos matemáticos (como yo, o Mozibur, dada su respuesta), su toroide es 'inusual'.
@MosheKohan ¿Un círculo girado alrededor de una línea recta? ¿No es un círculo girado alrededor de un círculo?
Ese sería otro, si estás trabajando dentro de la esfera 3D. En ese caso, sin embargo, lo natural sería inducir la métrica desde la esfera, no desde el espacio euclidiano. ¡Pero entonces obtienes una métrica plana en el toro! En cualquier caso, no existe una métrica 'habitual', como puedes ver.
@MoisheKohan Felicia está usando la frase "girar alrededor de un círculo" para significar lo mismo que quiere decir cuando dice "girar alrededor de una línea". A medida que gira el círculo alrededor de una línea, los centros de estos círculos barren otro círculo. Este es el círculo que Felicia dice que el círculo original está siendo "rotado".
@StevenGubkin Ya veo. Esta es otra terminología no estándar....
@MoisheKohan Sí, creo que la geometría está particularmente plagada de terminología no estándar porque las personas simplemente intentan describir sus imágenes mentales con frases que inventan, pero a menudo entran en conflicto con los usos establecidos.
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