¿Por qué debería preocuparme por Gauss-Bonnet (y la curvatura gaussiana)?

En retrospectiva, esta publicación se hizo bastante larga. Además, el nivel varía mucho, ¡lo siento! No dude en hacer cualquier pregunta. Supongo que soy bastante aficionado a este tema, aunque no estoy tan bien informado como otras personas aquí. De todos modos, espero que esto sea útil para alguien :-)

En mi opinión, este teorema es una de las joyas de la corona de las matemáticas.

Hay varias maneras de interpretar o generalizar esta afirmación. Por ejemplo, desde$2\pi \chi(M)$es una cantidad puramente topológica, esto nos dice que estirar o deformar$M$a través de isotopías suaves no cambiará la integral de la curvatura gaussiana. Entonces, podríamos tomar una esfera$S^2(r)$de radio$r$en$\Bbb{R}^3$. Entonces la curvatura gaussiana está en todas partes.$\frac{1}{r^2}$. la integral es

$$\int_{S^2(r)}\frac{1}{r^2}\mathrm{vol}=\frac{4\pi r^2}{r^2}=4\pi=2\pi\chi(S^2(r)).$$ Ahora, podemos deformar esta esfera.$S^2(r)$como queramos a través de isotopías y vemos que el teorema de Gauss-Bonnet nos da una "ley de conservación":

si deformamos nuestra superficie$M$conservando el volumen de tal manera que la curvatura en una región se hace mayor, luego la curvatura en otra región debe hacerse más pequeña.

Hacer un dibujo ilustra esta idea:

Esta es una buena intuición para al menos algo de lo que dice el teorema. Sin embargo, hay otra interpretación. De hecho, tenemos un invariante topológico clásico$\chi(M)$, y con algo de trabajo pudimos encontrar una "cantidad geométrica" ​​para integrar para volver$\chi(M)$, estableciendo una conexión entre una cantidad geométrica global y una cantidad topológica. Esto puede interpretarse como

$$\int_M\frac{K}{2\pi}\mathrm{vol}=\chi(M).$$ Ahora bien, los objetos naturales de integración en variedades son formas diferenciales y, de hecho, hemos integrado un$2-$forma$\frac{K}{2\pi}\mathrm{vol}$regresar$\chi(M)$. Este es un cerrado$2-$forma y define una clase de cohomología$\omega\in H^2(M,\Bbb{R})$. Entonces, llegamos a una pregunta natural:

Dado un pacto$n-$colector$M$, podemos encontrar una clase de cohomología$\omega \in H^n(M,\Bbb{R})$de modo que$\int_M\omega=\chi(M)$?

Para$n=2$, el resultado es Gauss-Bonnet. Si$n$es extraño, es una fácil consecuencia de la dualidad de Poincaré que$\chi(M)=0$, por lo que la respuesta es sí, pero por razones estúpidas: simplemente tome$0\in H^n(M,\Bbb{R})$. Para$n$incluso, la pregunta es más interesante. A continuación notamos que teníamos más estructura en el caso del teorema de Gauss-Bonnet. De hecho, estábamos usando la estructura riemanniana proveniente de nuestro ser múltiple en$\Bbb{R}^3$. Entonces, podemos equipar$M$con estructura riemanniana$(M,g)$. Ahora que hemos hecho eso, nos gustaría introducir una noción de curvatura. La curvatura es, en cierto sentido, un fenómeno de segundo orden, por lo que debemos introducir una noción de segunda derivada. El método para hacer esto es introducir una conexión afín en$TM$. Este es un operador

$$\nabla:\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(M)$$ Escrito como$\nabla(X,Y)=\nabla_XY$. Esto tiene algunas propiedades naturales:

1. $\nabla$es$\Bbb{R}-$lineal en ambos$X$y$Y$
2. Para cualquier$f\in C^\infty(M)$,$\nabla_{fX}Y=f\nabla_XY$.
3. Para cualquier$f\in C^\infty(M)$,$\nabla_X(fY)=X(f)Y+f\nabla_XY$, que llamamos propiedad de Leibniz.

El ejemplo estándar de esto es la derivada direccional de un campo vectorial$Y\in \mathfrak{X}(\Bbb{R}^3)$con respecto a otro campo vectorial$X$, escrito en cálculo multivariable por$D_XY$. De todos modos, asociado a esto$\nabla$son un par de tensores:

$$T(X,Y)=\nabla_X Y-\nabla_YX -[X,Y]$$ llamado torsión y $$R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_X Z-\nabla_{[X,Y]}Z$$ llama la curvatura. Hay un teorema que dice que en una variedad de Riemann$(M,g)$, hay una conexión única$\nabla$satisfactorio$T(X,Y)\equiv 0$y$\nabla_Xg(Y,Z)=g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z)$. Esta conexión se llama la conexión Levi-Civita . La virtud de esto es que hay una conexión canónica asociada a una variedad de Riemann, que resultará bastante importante.

Con esto en la mano, podemos tomar nuestra variedad Riemanniana$(M,g)$con su conexión LC$\nabla$y estudiar las propiedades de su curvatura. (Por cierto, puedes recuperar la curvatura gaussiana de este misterioso$R$en el caso de una superficie, pero no explicaré cómo.) Si tomamos una trivialización del fibrado tangente por un marco local$(e_1,\ldots, e_n)$, podemos describir los datos de la conexión usando las ecuaciones:

$$\nabla_X e_j=\sum_i \omega^i_j(X)e_i$$ dónde$\omega_j^i$son diferenciales$1-$formularios Además, podemos describir los datos de la curvatura usando $$R(X,Y)e_j=\sum_i \Omega^i_j(X,Y)e_i$$ para todos$1\le i \le n$, donde el$\Omega^i_j$son$2-$formularios En particular, obtenemos matrices$\omega=(\omega^i_j)$y$\Omega=(\Omega^i_j)$describiendo la conexión y la curvatura, respectivamente, en una banalización local. Nos gustaría armar de estos muchachos una forma diferencial que podamos integrar para volver$\chi(M)$. El puente lo proporciona el homomorfismo de Chern-Weil, que nos permite construir clases de cohomología a partir de estas matrices de formas diferenciales. la declaración es

Teorema (Chern-Weil) Supongamos$E$es un rango$r$paquete de vectores con conexión$\nabla$. Suponer$P$es un$\mathrm{GL}(r,\Bbb{R})-$polinomio invariante en$\mathfrak{gl}(r,\Bbb{R})$de grado$k$. Entonces el$2k-$forma$P(\Omega)$en$M$se define globalmente, es cerrado y$[P(\Omega)]\in H^{2k}(M,\Bbb{R})$es independiente de la conexión.

La definición de una conexión en$E$es análoga a la anterior. Un polinomio en$\mathfrak{gl}(r,\Bbb{R})$significa un polinomio que toma un$r\times r$matriz$X=(x_j^i)$como su entrada. De todos modos, este teorema nos dice que podemos construir clases de cohomología explícitamente a partir de la información de la curvatura de una conexión en un paquete vectorial en$M$. Además, la clase de cohomología es independiente de la elección de la conexión. Una forma de interpretar esto es que estamos obteniendo una forma de construir representantes distinguidos de nuestras clases de cohomología en$M$. Este es un motivo que aparece con frecuencia en la geometría. Esto nos permite enunciar nuestro teorema final.

(Chern-Gauss-Bonnet) Vamos$(M,g)$denote una variedad de Riemann compacta de dimensión$2n$. Entonces

$$\int_M \frac{1}{(2\pi)^n}\mathrm{Pf}(\Omega)=\chi(M).$$

Aquí,$\mathrm{Pf}$denota el Pfaffian, que es cierto polinomio definido en$\mathfrak{so}(2n,\Bbb{R})$caracterizado (hasta un signo) por$\mathrm{Pf}^2=\det$como funciones polinómicas. He barrido muchos detalles debajo de la alfombra aquí, pero la moraleja de la historia es que la presencia de una métrica de Riemann da una versión del teorema de Chern-Weil anterior para$SO(2n)-$polinomios invariantes en$\mathfrak{so}(2n,\Bbb{R})$.

Por último, aquí hay una explicación de alto nivel de lo que estamos haciendo aquí. En topología, se asocia a un haz vectorial$E\to M$clases características, que son clases de cohomología en$H^*(M)$que son invariantes del paquete. No profundizaré mucho en esto, pero hay una clase característica de paquetes de vectores reales orientados llamada clase de Euler,$e(E)$. Se nombra sugestivamente porque en el caso en que$E=TM$,$e(E)\in H^n(M,\Bbb{R})$(visto, por ejemplo, como una clase de cohomología de Rham) satisface

$$\int_M e(E)=\chi(M).$$ Entonces, realmente hemos construido una forma explícita$\mathrm{Pf}(\Omega)$en$M$representando esta clase de cohomología$e(E)$, y ese es el contenido del teorema. Resulta que las clases características de paquetes orientados se clasifican$r$se puede definir como clases de cohomología del espacio clasificador$BSO(r)$. Se puede probar que la cohomología de$BG$(para$G$un grupo de Lie compacto) es$H^*(BG,\Bbb{R})\cong \Bbb{R}[\mathfrak{g}]^G$, es decir, los polinomios invariantes del álgebra de Lie$\mathfrak{g}$. Entonces, el homomorfismo de Chern-Weil en su forma más general expresa clases características de un (digamos) paquete real orientado de rango$r$en términos de polinomios de la curvatura. Entonces, en esta configuración, el teorema de Gauss-Bonnet es un caso especial del hecho de que el polinomio$\mathrm{Pf}$calcula la clase de Euler.

Si esto es de su interés, comencé a aprender sobre esto en las clases de geometría diferencial: conexiones, curvatura y características de Tu , que es una lectura clara y agradable para alguien con un conocimiento básico de variedades y cohomología de Rham.

Creo que uno no necesita preocuparse por la noción de curvatura o incluso las características de Euler para encontrar Gauss-Bonnet al menos sorprendente.

Una variedad es solo un espacio topológico. Pero cuando lo conviertes en una variedad de Riemannan, agregas una estructura adicional. Y es razonable preguntarse "¿de cuántas maneras diferentes puedo hacer esto?". Visualmente, una estructura riemanniana en, digamos, una esfera topológica la convierte en una forma de patata más o menos deformada. Y esto puede volverse bastante salvaje hasta el punto en que no se incrusta en$\Bbb R^3$ya no. Entonces, ¿hay algún límite en absoluto?

Tenga en cuenta las siguientes dos cosas sobre Gauss-Bonnet.

• Cualquiera que sea la curvatura, es algo que se define puramente en términos de la estructura de Riemann y está completamente determinado por ella.
• Cuando lo integras sobre la variedad, no depende de la estructura de Riemann.

¿No es sorprendente? Acabamos de descubrir que las estructuras riemannianas no se pueden elegir de manera completamente arbitraria.