¿Por qué la solución de la ecuación radial de Schrödinger es válida en r=0r=0r=0?

Question

¿Por qué la solución de la ecuación radial de Schrödinger es válida en r=0r=0r=0?

Física
mecánica cuántica
sistemas coordinados
condiciones de borde
armónicos esféricos
ecuación de Schroedinger

daniel aguas

La ecuación de Schrödinger para una partícula en un potencial central es

[\frac{{pag}_{r}^{2}}{2 metro} + \frac{ℓ (ℓ + 1)}{2 metro r^{2}} + V (r)] ψ (r, θ, φ) = mi ψ (r, θ, φ) .

$\left[\frac{p_r^2}{2m}+\frac{\ell(\ell+1)}{2mr^2}+V(r)\right]\psi(r,\theta,\varphi)=E\psi(r,\theta,\varphi).$ Esto da soluciones de la forma:

ψ_{ℓ}^{metro} (r, θ, φ) = \frac{y_{ℓ} (r)}{r} Y_{ℓ metro} (θ, φ)

$\psi_\ell^m(r,\theta,\varphi)=\frac{y_\ell(r)}rY_{\ell m}(\theta,\varphi)$ Dónde

Y_{ℓ m}

$Y_{\ell m}$ son los armónicos esféricos y

y_{ℓ} (r)

$y_\ell(r)$ es la solución de la ecuación:

- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2} y_{ℓ}}{d r^{2}} + ℓ (ℓ + 1) \frac{ℏ^{2}}{2 metro r^{2}} y_{ℓ} (r) + V (r) y_{ℓ} (r) = mi y_{ℓ} (r)

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2y_\ell}{dr^2}+\ell(\ell+1)\frac{\hbar^2}{2mr^2}y_\ell(r)+V(r)y_\ell(r)=Ey_\ell(r)$ El libro que estoy usando (Mesías) establece que las soluciones son válidas en el origen al descartar soluciones del tipo

b r^{- ℓ}

$br^{-\ell}$ para constantes

b

$b$ asegurando así que

y_{ℓ} (0) = 0

$y_\ell(0)=0$ . Mi pregunta es, ¿cómo asegura esto que

ψ_{ℓ}^{m} (r, θ, φ)

$\psi_\ell^m(r,\theta,\varphi)$ es una solución válida de la ecuación de Schrödinger en el origen? ¿Es porque

y_{ℓ}

$y_\ell$ va a

0

$0$ más rápido que

r^{- 1}

$r^{-1}$ ?

qmecanico

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Michael Seifert · Answer 1

Si $\psi$ va a ser una función de onda normalizable, entonces la función $y_l(r)/r$ debe ser integrable en cuadrado. Si $y_l(r) \propto r^{\alpha}$ cerca $r = 0$ , entonces la porción radial de la integral para $\psi^2(r,\theta,\phi)$ en la región $a \leq r \leq b$ será

\int_{a}^{b} \frac{y_{yo} (r)^{2}}{r^{2}} r^{2} d r \approx \int_{a}^{b} r^{2 α} d r = \frac{1}{2 α} [b^{2 α + 1} - a^{2 α + 1}] .

$\int_a^b \frac{y_l(r)^2}{r^2} r^2 \, dr \approx \int_a^b r^{2 \alpha} \, dr = \frac{1}{2 \alpha} \left[ b^{2\alpha + 1} - a^{2 \alpha + 1}\right].$ Si

α < - 1 / 2

$\alpha < -1/2$ , entonces se puede ver que esto es divergente en el límite

a \to 0

$a \to 0$ , lo que significaría que la integral de

ψ^{2}

$\psi^2$ sobre todo el espacio (incluido el origen) divergiría y

ψ

$\psi$ no sería una función de onda válida. Entonces rechazamos cualquier solución con este comportamiento como

r \to 0

$r \to 0$ .

Eso aclara mucho. Así que básicamente, la razón $\psi$ es válida es porque la singularidad en $r^{-1}$ es cancelado por $y_l$ . ¿Tengo eso bien?

¿Por qué la solución de la ecuación radial de Schrödinger es válida en r=0r=0r=0?

daniel aguas

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