E7(7)E7(7)E_{7(7)} simetría en (N=8,d=4)(N=8,d=4)(\mathcal{N}=8, d=4) Supergravedad

1- Los campos escalares generalmente involucran una estructura múltiple de clase lateral$G/H$, las coordenadas a las que básicamente describen campos escalares según alguna estructura de modelo sigma. La variedad que describe los campos escalares se ve afectada por$G$en el sentido habitual de$G$siendo el grupo de isometría de la variedad. Los campos vectoriales implicados en$\mathcal{N}=8$con$d=4$siguen una especie de relación de dualidad (necesaria para el acoplamiento de vectores a escalares y espinores en forma de modelo sigma) y el$28$campos vectoriales con sus duales se asignan a$56$representación pseudo-real de$E_{7(7)}$. Entonces$E_7$que actúa sobre campos escalares también actúa sobre campos vectoriales a través de la transformación de dualidad, una propiedad compartida por todos los modelos extendidos de supergravedad.

2- Como se dijo antes, el coset$E_{7(7)}/SU(8)$describe una variedad compleja cuyas coordenadas son campos escalares. Por lo general, estas variedades tienen una estructura de Kahler; sin embargo, en este caso, la variedad es un ejemplo de variedad no kahler que surge como resultado de la autoconjugación CPT de la$\mathcal{N}=8$multiplete de gravitones. Los campos escalares toman valor en esta variedad y no en el vacío del modelo.

Sin embargo, para describir la estructura de vacío, normalmente se mide un subgrupo del grupo de isometría completo que también debería ser un subgrupo del grupo que preserva la simetría de la parte bosónica de Lagrangian. Estructura del vacío con la elección popular del grupo de manómetro$SO(8)$lleva una simetría completa de$Osp(4/8)$y así el espacio-tiempo de fondo tiene una estructura AdS.$\mathcal{N}=8$se puede truncar a un número menor de supersimetría (para la construcción de modelos) sobre la base del estudio de los puntos críticos del potencial escalar que, a su vez, se puede determinar conociendo la estructura de clases laterales.

Nota: las relaciones de dualidad son simplemente simetrías de las ecuaciones de campo pero no de Lagrangian. Aquí proporcionan una extensión de simetrías del modelo sigma no lineal utilizado para describir campos escalares a campos vectoriales.

Estas relaciones de dualidad son básicamente una forma generalizada de simetría de dualidad de las ecuaciones clásicas de Maxwell donde el intercambio de E y B es una simetría de las ecuaciones clásicas de Maxwell en el vacío pero no es una simetría de Maxwell Lagrangian.

En modelo de supergravedad extendida$\mathcal{N}\geqslant3$, la arbitrariedad de la métrica del modelo sigma desaparece debido a un cambio en el grupo de automorfismos de la supersimetría más allá$\mathcal{N}=3$y para estos modelos, si empleamos la invariancia de dualidad, la estructura métrica junto con G se determina completamente (junto con algunas otras restricciones que determinan H). Por lo tanto, la estructura de clase lateral está completamente determinada para los modelos SUGRA extendidos que se pueden usar para corregir completamente las interacciones y, por lo tanto, el Lagrangiano. Esta tarea se utilizó por primera vez para$\mathcal{N}=3$en la siguiente referencia-

Castellani, Auria, Fre, Ferrara: El completo$\mathcal{N}=3$supergravedad acoplada a la materia, Nucl. física B286 (1986).