Tensión material de la curvatura del espacio-tiempo

Comenzando con el concepto básico de curvatura gaussiana, observamos la métrica dada en la pregunta e intentamos identificar algún concepto de tensión a partir de eso. Así es como se ve la curvatura hiperbólica para 2D en 3D, y creo que debería extenderse al problema actual de 3D a 4D sin ningún cambio material.

A partir de esta imagen, podríamos imaginarnos calcular la circunferencia de un círculo dado el radio desde el punto central. La idea básica de la geometría hiperbólica es que debemos encontrar$C'>2 \pi t$, dónde$t$es el radio de un círculo en el plano. supondré que$t$es constante, por lo que$C'$es la circunferencia después de pasar a la región curva del espacio. A partir de una inspección visual básica, supondré que la elevación de la superficie sigue una forma de seno en función del ángulo. Con esto, puedo usar la fórmula para la longitud de arco de una función para obtener$C'$. yo tambien sustituyo$x=t \theta$poner la integral en términos del ángulo.

$$C' = \int_{a}^{b} \sqrt { 1 + [f'(x)]^2 }\, dx = t \int_{0}^{2 \pi} \sqrt { 1 + [f'(\theta)/t]^2 }\, d\theta$$

Al integrar este multiplicador de longitud de arco, podemos poner la circunferencia en términos de la elevación máxima (lo llamaré$h$) de la superficie en el radio$r$. La integral no se puede evaluar fácilmente, así que introduzco la suposición.$t \gg h$y use una serie de Taylor de la expresión.

$$C' = t \int_{0}^{2 \pi} \sqrt { 1 + (\frac{h}{t} \cos{\theta})^2 }\, d\theta \approx t \int_{0}^{2 \pi} \left( 1+ \frac{1}{2} (h/t)^2 \cos^2{\theta} \right) d\theta$$

A medida que el círculo se mueve de una región plana del espacio-tiempo a una región curva, la relación entre la nueva circunferencia y la antigua es efectivamente la tensión a lo largo de ese camino.

$$\frac{C'}{C} = \frac{C'}{2 \pi r} = (h/t)^2/4 + 1$$

La definición de curvatura gaussiana es la siguiente, donde$\kappa$es una métrica para la curvatura en una sola dirección, y el inverso del radio del círculo que encajaría allí con la curvatura.

$$K = \kappa_1 \kappa_2 = \frac{1}{R_1} \frac{1}{R_2}$$

Todavía quiero usar la métrica$K=-r_s/(2 r^3)$, pero esto no proporciona el desglose de la curvatura en un eje frente al otro. Así que asumiré que son iguales, para dar$K=\kappa^2$. Reorganizar para encontrar$R=1/\sqrt{K}$. Entonces, por la idea de un círculo en la dimensión "extra", encontramos$h$multiplicando el radio en el plano por el aumento de moverse tan lejos a lo largo del borde del círculo grande en la dimensión adicional.

$$h = R (1-\cos{(t/R)}) \approx R \left( \frac{t^2}{2R^2} \right)$$

$$h = \frac{ t^2}{2 R} = \frac{ t^2 \sqrt{ K} }{ 2 } = \frac{ t^2 \sqrt{r_s} }{ 2 \sqrt{2} r^{3/2} }$$

Ahora podemos poner la tensión en términos de las cantidades conocidas. Aquí usaré la definición común de tensión,$\epsilon$.

$$\frac{C'}{C} = \left( \frac{ t \sqrt{r_s} }{ 2 \sqrt{2} r^{3/2} } \right)^2 \frac{1}{4} + 1 = \epsilon + 1$$

$$\epsilon = \left( \frac{ t^2 r_s }{ 8 \times 4 r^{3} } \right) = \frac{1}{16} \frac{ t^2 r_s }{ 2 r^{3} }$$

Esa es una parte de la respuesta. En lo que a nosotros respecta, todos los materiales tienen un punto de fluencia y este punto tiene una tensión y una deformación asociadas. En la práctica, puede buscar el límite elástico y encontrar la deformación elástica utilizando el módulo de Young. Si hace esto, encontrará que muchos materiales tienen una tensión de fluencia del orden del 1%, para cosas como el hueso. La cerámica es más baja, pero no más de alrededor de 1 orden de magnitud. Ahora comparamos haciendo un cálculo newtoniano simple de fuerza específica (que denota$ss$) de las fuerzas de marea.

$$\text{field} = F = \frac{G M }{r^2} = \frac{r_s c^2 }{ 2 r^2}$$ $$\text{tidal} = T = \frac{ r_s c^2 }{ r^3 }$$

Ahora, imaginemos un campo de marea constante y un material en esa ubicación en el espacio. Lo trataremos como una barra lineal por ahora, estirada en la dirección de las crecientes fuerzas de marea. Si el centro está en$t=0$entonces el campo de marea es$t T$. Integre este campo para encontrar la diferencia de potencial gravitacional,$1/2 t^2 T$, que es el límite que cuantifica la fuerza específica.

$$ss = 1/2 t^2 \frac{ r_s c^2 }{ r^3 } = \frac{ t^2 r_s }{ 2 r^3 } c^2$$

La fuerza específica también tiene unidades de velocidad al cuadrado. Para hueso calculo sobre$130,000 m^2/s^2$. Ahora podemos formular los criterios últimos para no romper. Resulta que el "ganador" entre la tensión y el estrés parece no ser específico de las condiciones. Eso es algo sorprendente ya que teníamos 3 grados de libertad, la dimensión del objeto, la distancia desde el agujero negro y la masa del agujero negro. Estos son los criterios para evitar roturas.

$$\frac{ss}{c^2} > \frac{ t^2 r_s }{ 2 r^3 }$$

$$16 \epsilon > \frac{ t^2 r_s }{ 2 r^{3} }$$

$$\frac{ss}{c^2} = 1.45 \times 10^{-12}$$

$$\epsilon = 0.16$$

Vemos aquí que el requisito de fuerza de marea es mucho más restrictivo . En realidad, es mucho más restrictivo que básicamente ningún valor imaginable del módulo de Young cambiaría el equilibrio.