¿Por qué la densidad de probabilidad en particular se define como |Ψ|2=ΨΨ∗|Ψ|2=ΨΨ∗|\Psi|^2=\Psi \Psi^{*}?

Question

¿Por qué la densidad de probabilidad en particular se define como |Ψ|2=ΨΨ∗|Ψ|2=ΨΨ∗|\Psi|^2=\Psi \Psi^{*}?

Física
regla de nacimiento
probabilidad
función de onda
números complejos
mecánica cuántica

Agnius Vasiliauskas

Puede ser una pregunta estúpida, pero ¿por qué particularmente para la expresión de densidad de probabilidad? $k~|\Psi|^2 = k~\Psi^{*}\Psi$ , se supone que $k=1$ ? Tal como está ahora, en un plano complejo la densidad de probabilidad es solo un área rectangular para un vector complejo. Pero, ¿por qué tiene que ser rectangular específicamente? ¿Por qué no puede ser $k=\pi$ , de modo que la densidad de probabilidad redefinida $\pi |\Psi|^2$ significaría un área de círculo delimitador de vector complejo:

O cualquier otro valor de escala de área de plano complejo $k$ ? ¿Cuáles serían las implicaciones de eso para la mecánica cuántica?

marzo

Quiero decir, quieres que tu función de densidad de probabilidad se normalice para que el

\int_{all space} p (x) d x = 1

$\int_{\textrm{all space}}p(x)dx=1$ . Entonces, siempre que

Ψ

$\Psi$ está normalizado de tal manera que la integral de su módulo cuadrado es 1, esta debe ser la elección. Realmente se trata de nuestras definiciones de funciones de probabilidad, no de mecánica cuántica.

Respuestas (2)

¿Por qué la densidad de probabilidad en particular se define como |Ψ|2=ΨΨ∗|Ψ|2=ΨΨ∗|\Psi|^2=\Psi \Psi^{*}?

Quiero decir, quieres que tu función de densidad de probabilidad se normalice para que el $\int_{\textrm{all space}}p(x)dx=1$ . Entonces, siempre que $\Psi$ está normalizado de tal manera que la integral de su módulo cuadrado es 1, esta debe ser la elección. Realmente se trata de nuestras definiciones de funciones de probabilidad, no de mecánica cuántica.

JG · Answer 1

Es una convención de normalización para $\Psi$ - De hecho, el único sensato. Si la densidad de probabilidad es $k|\Psi|^2$ , solo absorbe un $\sqrt{k}$ factor en $\Psi$ . Esta densidad no debe interpretarse como un área. De hecho, la verdadera razón por la que cuadramos no tiene nada que ver con $2$ -geometría dimensional.

j murray · Answer 2

Tal como está ahora, en un plano complejo la densidad de probabilidad es solo un área rectangular para un vector complejo.

No creo que sea útil visualizar $|\psi|^2$ como el área del rectángulo cuyas longitudes laterales son $\mathcal{Re}[\psi]$ y $\mathcal{Im}[\psi]$ .

En la formulación estándar de la mecánica cuántica, los estados $^\dagger$ de un sistema se representan como elementos de un espacio de Hilbert $\mathscr H$ , y las cantidades observables se representan como operadores lineales autoadjuntos en $\mathscr H$ . El valor esperado de un observable $\hat A$ en el estado $\psi$ es dado por

{mi}_{ψ} [\hat{A}] := \frac{⟨ ψ, \hat{A} ψ ⟩}{‖ ψ ‖^{2}} = \frac{⟨ ψ, \hat{A} ψ ⟩}{⟨ ψ, ψ ⟩}

$\mathbb E_\psi[\hat A]:= \frac{\langle \psi,\hat A\psi\rangle}{\Vert \psi \Vert^2}= \frac{\langle\psi,\hat A\psi\rangle}{\langle \psi,\psi\rangle}$

Para simplificar los cálculos, es conveniente (pero no necesario) elegir $\psi$ ser normalizado, es decir $\Vert \psi\Vert^2 = 1$ . Si hacemos esta elección, el valor esperado del operador de posición $\big(\hat X\psi\big)(x) = x \psi(x)$ es dado por

{mi}_{ψ} [\hat{X}] = ⟨ ψ, \hat{X} ψ ⟩ = \int d X ψ^{*} (X) \cdot (X ψ (X)) = \int d X X | ψ (X) |^{2}

$\mathbb E_\psi[\hat X] = \langle \psi, \hat X \psi\rangle = \int \mathrm dx \ \psi^*(x) \cdot \big(x \psi(x)\big) = \int \mathrm dx \ x |\psi(x)|^2$

Comparando con el valor esperado de una variable aleatoria de la teoría de probabilidad estándar, reconocemos $|\psi(x)|^2$ como la densidad de probabilidad correspondiente a la variable de posición.

Finalmente, tenga en cuenta que si no hubiéramos normalizado $\psi$ , entonces $\Vert \psi \Vert^2 = C^2 \neq 1$ , entonces encontraríamos que la densidad de probabilidad estaría dada por $|\psi(x)|^2/C^2$ . Como resultado, el hecho de que la densidad de probabilidad esté dada por $|\psi(x)|^2$ sin factores numéricos adicionales es simplemente el resultado de nuestra conveniente elección de normalización.

$^\dagger$ En realidad, esto es cierto solo para los llamados estados puros . Hay una noción más general de estado en el que se permite que se mezclen , pero eso está más allá del alcance de esta explicación.

¿Por qué la densidad de probabilidad en particular se define como |Ψ|2=ΨΨ∗|Ψ|2=ΨΨ∗|\Psi|^2=\Psi \Psi^{*}?

Agnius Vasiliauskas

marzo

Respuestas (2)

JG

j murray

¿Por qué la magnitud al cuadrado de la función de onda nos da la densidad de probabilidad? [duplicar]

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