Encuentre una función f(x)f(x)f(x) en (0,∞)(0,∞)(0,\infty) con longitud de arco (x+1)2(x+1)2(x+1 )^2

Dar una definición analítica para una función. F ( X ) definido en ( 0 , ∞ ) para el cual la longitud de arco de 0 a d es siempre ( d + 1 ) 2 .

En general, soy bastante competente con el cálculo y creo que mi configuración debería ser

( d + 1 ) 2 = límite a → 0 + ∫ a d 1 + F ′ ( X ) 2 d X
Pero estoy un poco perdido en cuanto a cómo evaluar esto realmente. Por un lado, sé que la integral de longitud de arco generalmente no tiene una antiderivada "agradable", pero no creo que sea un problema porque solo estoy preguntando sobre un caso en el que sí . A continuación, creo que la función tiene algún tipo de asíntota vertical en 0 (porque en X = ε para ε arbitrariamente cerca de 0 , la longitud del arco ya es ( 1 + ε ) 2 > 1 , y en particular > ε ). De lo contrario, estoy bastante perplejo. ¿Quizás podría tomar la derivada de ambos lados? Pero entonces no sé cómo mostrar que la derivada necesariamente conmuta dentro del límite, y no estoy seguro de qué hacer con lo que resultaría de todos modos.

Recibí esta pregunta al modificar una pregunta similar en un grupo de matemáticas de LinkedIn que preguntaba sobre la longitud del arco. d 2 , para lo cual noté que la longitud del arco sería más corta que la de una línea recta para 0 < X < 1 , por lo que tal función no podría existir. Pero estoy bastante seguro de que ningún argumento similar funcionaría para esta función porque ( X + 1 ) 2 > X (y en particular ( X + 1 ) 2 ≮ X ) para todos los reales X .

Cualquier ayuda o incluso sugerencias serían apreciadas. ¡Gracias!

Como F es una función, la longitud del arco desde 0 a 0 no puede ser 1 !
Por eso lo defino en ( 0 , ∞ ) , no [ 0 , ∞ ) .
Eso no hace la diferencia, X = 0 tiene medida nula.
¿No puedes simplemente diferenciar ambos lados con respecto a d , Llegar 4 ( d + 1 ) 2 = 1 + F ′ ( d ) 2 .

Respuestas (1)

Elegir a > 0 . Entonces para todos t > a , nosotros necesitamos

( t + 1 ) 2 = ( a + 1 ) 2 + ∫ a t 1 + F ′ ( X ) 2 d X .
Aplicar d d t a ambos lados:
2 ( t + 1 ) = 1 + F ′ ( t ) 2 .
Resolver F ′ ( t ) :
F ′ ( t ) = ( 2 ( t + 1 ) ) 2 − 1 = 4 t 2 + 8 t + 3 .
Concluye esto
F ( X ) = F ( 0 ) + ∫ 0 X 4 t 2 + 8 t + 3 d t .

Espera, no defino F ( X ) en 0 porque eso causaría longitud de arco ( 0 , 0 ) = ( 1 + 0 ) 2 = 1 , que estoy bastante seguro de que es vacuamente falso. Y también estoy bastante seguro límite a → 0 + longitud de arco ( 0 , a ) = 1 , entonces hay una asíntota en 0, que tu función no tiene. Sin embargo, no veo un defecto en su solución. ¿Qué está sucediendo?
@LieutenantZipp: ¿por qué acepta una respuesta que cree que es falsa?
Allá. ¿Eso está mejor?
De esto F ( X ) dibujamos s ( X ) = ( X + 1 ) 2 − 1 = X ( X + 1 ) . Como se esperaba, s ( 0 ) = 0 .
Qué es s ( X ) ?
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