¿Por qué la línea de mundo de un cuerpo en caída libre debe ser recta?

Es solo la definición de fuerza.

La fuerza se define como una disposición a desviarse del “camino en línea recta”. Si deriva las ecuaciones de movimiento en coordenadas giratorias, por ejemplo, verá naturalmente dos términos de "fuerza ficticia", las fuerzas de Coriolis y centrífugas, que se aplican de manera uniforme a cada objeto proporcional a su masa, es decir, estas son realmente aceleraciones universales independientes de masa Sus "líneas rectas" son curvas en relación con las "líneas rectas" que no giran, pero las compensamos inventando estas aceleraciones y podemos hacer física con cualquiera de ellas.

Entonces eres libre de tomar tus coordenadas en serio e imaginar que estas son fuerzas reales, como uno podría imaginar que hace un geocentrista. Eso está bien y también es el enfoque tradicional de la gravedad: es una fuerza real entre masas.

O bien, puede ir por el otro lado. Al ver estas aceleraciones universales, es posible que se pregunte en qué coordenadas puede transformarse para insertar sus opuestos y cancelarlos perfectamente. Por lo tanto, puede suponer que sus coordenadas son "erróneas" y que la verdadera "línea recta" no se mide en relación con los objetos fijos a su alrededor que co-rotan con sus coordenadas, sino en relación con algún otro sistema de coordenadas, como lo haría un heliocentrista. hacer.

Nuestro término fuerzas "ficticias" arriba indica de qué lado estamos normalmente con las rotaciones, por supuesto. Pero es solo una palabra. Verdaderamente, ambos marcos de referencia conducen exactamente a las mismas matemáticas y, por lo tanto, a las mismas predicciones físicas: no hay ningún experimento que pueda decidir si el geocentrismo o el heliocentrismo son correctos. De hecho, lo que prevalece en la historia de la ciencia es precisamente lo que hace que los cálculos sean más fáciles para los estudiantes graduados con exceso de trabajo, una especie de selección natural que también podemos imaginar como la navaja de Occam, si ignoramos los tipos de culturas populares que también pueden reforzarse a sí mismas. Esta es también la razón por la que todavía enseñamos la gravedad como una fuerza universal primero y solo como una falla coordinada en segundo lugar: este último requiere mucho más trabajo de nuestros estudiantes en el caso no relativista.

Frente a una fuerza gravitacional —que también escala como la masa y por lo tanto es secretamente una aceleración— uno puede jugar el mismo truco, imaginando que la gravedad es una fuerza “ficticia” causada por no usar las coordenadas “correctas”. Entonces, si la única fuerza es la gravedad, uno puede imaginar que las coordenadas correctas son las de "caída libre", de modo que un objeto en caída libre está en reposo o moviéndose en una "línea recta", una geodésica . Esto es lo que hizo Einstein. No es una ley, sino una elección concreta que hizo.

La "línea de mundo" de un cuerpo en caída libre es geodésica , es decir, una curva que maximiza la integral$\int_{t_1}^{t_2}ds$dónde$ds^2=c^2dt^2-dx^2$. Esto es análogo a una línea recta en el espacio euclidiano, y sí, eso surge del principio de equivalencia.