Las notas de mi profesor dicen que, de acuerdo con el principio de equivalencia, existe un sistema de coordenadas de caída libre en el que las ecuaciones de movimiento de una partícula libre son (1) donde son las coordenadas en el sistema de coordenadas inercial local centradas en = (0, 0,0,0) . Luego continúa y hace una transformación general de coordenadas a sistema para derivar la ecuación geodésica.
Mi pregunta es ¿cuál es la extensión del sistema de coordenadas? . Para mí, parece que la ecuación (1) es verdadera solo en la vecindad inmediata del punto donde está centrado el sistema de coordenadas y, a medida que se aleja una distancia finita de ese punto, la ecuación (1) dejará de ser cierta como en algún otro punto (centrado en (0, 0,0,0)) no será un sistema de coordenadas de caída libre Minkowskiano.
¿Es eso correcto o la ecuación (1) es válida para toda la trayectoria de la partícula y eso las coordenadas también son válidas para toda la trayectoria. Y también si son las coordenadas de toda la variedad.
¿Alguien puede ayudarme en este sentido?
Para su primera pregunta: creo que tiene razón en cuanto a concluir que la ecuación es localmente verdadera. Sin embargo, es posible que desee tener en cuenta que, al ser una ecuación tensorial, esta ecuación es localmente cierta en cada punto (definido) del gráfico de coordenadas. Como siempre es cierto en un lugar suficientemente pequeño alrededor de la partícula y como la partícula, por definición, siempre existe dentro de este lugar, uno espera que la ecuación geodésica (y, creo, el uso de las coordenadas épsilon en la derivación) ser válido para toda la trayectoria. Para su segunda pregunta: las coordenadas x no necesitan ser las coordenadas de toda la variedad; depende de cómo se defina la variedad. Sin embargo, lo mejor de las ecuaciones de tensor es que generalmente son verdaderas en toda la variedad.