¿Puedes demostrar la paradoja de los gemelos usando un espacio-tiempo de Schwarzschild?

Versión corta :

Si queremos resolver un problema en el que una partícula es expulsada de una geodésica, ¿podemos obtener resultados idénticos si, en cambio, resolvemos el problema en el que la partícula está en un espacio-tiempo diferente pero permanece en una geodésica?

Versión larga (El experimento mental) :

(Ver Twin Paradox para antecedentes)

El gemelo A está flotando estacionario en el espacio. El gemelo B está en un cohete de alta velocidad que pasa por el gemelo A. En ese momento, el gemelo A y el gemelo B sincronizan sus relojes.

Luego, considere dos situaciones diferentes:

  1. El espacio es globalmente plano Minkowski. El gemelo B navega a través de un espacio plano, usando sus propulsores para acelerar lentamente antes de usarlos para dar la vuelta y viajar de regreso a casa con el gemelo A.

  2. El espacio es globalmente Schwarzschild, pero el gemelo A está situado muy lejos del agujero negro central donde el espacio es, en buena aproximación, plano. Twin B apaga inmediatamente sus propulsores y se desliza a lo largo de su geodésica sin una aceleración notable en su estructura. La geodésica los lleva cerca del agujero negro, curvándose completamente alrededor del agujero negro y volviendo sobre sí mismo, de vuelta hacia el gemelo A (eventualmente pasando por ellos nuevamente).

Una sugerencia de una geodésica alrededor de un agujero negro de Schwarzschild que gira sobre sí mismo. Figura 1 : una sugerencia de una geodésica alrededor de un agujero negro de Schwarzschild que gira sobre sí mismo (no a escala).

Cuando los gemelos pasan por segunda vez, encontramos que el reloj del gemelo A ha adelantado más tiempo que el reloj del gemelo B. Es decir, el gemelo A ha envejecido más que el gemelo B.

Sé que esto es cierto en el caso (1) porque es la descripción típica de la paradoja de los gemelos, que tiene una respuesta conocida (aunque no sé cómo calcularla explícitamente).

Sé que esto es cierto en el caso (2) porque el gemelo A y el gemelo B son solo geodésicas en un espacio-tiempo de schwarzchild, así que pude integrarlos numéricamente y, efectivamente, encontré que τ B < τ A .

Mi pregunta es: ¿ las situaciones (1) y (2) son equivalentes cuando se ven desde el marco del gemelo A?

Por qué creo que son equivalentes:

  • El principio de equivalencia de Einstein establece que la aceleración y la curvatura son equivalentes. Una descripción que utiliza la curvatura (geodésicas) para describir la trayectoria de una partícula debe ser la misma que una descripción que utiliza la aceleración.

Por qué no estoy seguro:

  • El gemelo B siente una fuerza de aceleración en el caso (1) pero no siente nada en el caso (2).
  • En el caso (2), ambos gemelos A y B permanecen en las geodésicas para siempre. Esto es más parecido a la marcación de tiempo en la Relatividad Especial, que ocurre cuando dos partículas están en geodésicas diferentes. Quizás la marcación de tiempo que estamos viendo en (2) está más relacionada con el tipo de marcación de tiempo SR, que presumiblemente es diferente del tipo En 1)?
Si el gemelo A está en movimiento geodésico, no estaría en una coordenada fija, digamos, con respecto a un observador asintomático. Según tu descripción, parece que estás asumiendo lo contrario.
@DvijD.C. Considero que A está tan lejos que su geodésica esencialmente permanece fija en el espacio. Por supuesto, no está literalmente fijo, y se desviará muy, muy levemente, pero esto será tan insignificante que puedo considerar la aproximación "tiempo de coordenadas = tiempo propio del observador A". Podrías imaginarte tomando el límite donde A está infinitamente lejos y tiene 0 movimiento.
Sí, eso es lo que pensé, pero entonces tomaría una cantidad infinitamente grande de tiempo adecuado de A hasta B Vuelve.
El principio de equivalencia de Einstein no dice que la aceleración y la curvatura sean equivalentes. En el espaciotiempo curvo, puede obtener una paradoja de gemelos incluso si ambos gemelos permanecen en caída libre entre reuniones (como en su escenario 2, si lo entendí correctamente), lo que no puede suceder en el espaciotiempo de Minkowski. ¿Está realmente preguntando si son equivalentes , o simplemente preguntando si es posible una paradoja gemela en el espacio-tiempo curvo si ambos gemelos permanecen en caída libre? Si es lo último, entonces esto está relacionado: paradoja gemela con un gemelo en órbita, uno en caída libre radial

Respuestas (2)

¿Son las situaciones (1) y (2) equivalentes cuando se ven desde el marco del gemelo A?

No. El principio de equivalencia dice que el resultado de cualquier experimento local es el mismo si estás en reposo en un campo gravitacional o acelerando uniformemente. Por lo tanto, las situaciones 1 y 2 no son equivalentes.

Primero, el experimento no es local por el significado usado en el principio de equivalencia. En el principio de equivalencia, "local" significa que se lleva a cabo en una región del espacio-tiempo lo suficientemente pequeña como para que la gravedad de las mareas sea insignificante. En otras palabras, el campo gravitacional debe ser uniforme y el espacio-tiempo debe ser plano dentro de la precisión de todos los dispositivos de medición. En este escenario, el campo gravitatorio cambia sustancialmente durante la honda. Por lo tanto, viola la condición de localidad del principio de equivalencia.

Segundo, dado que el principio de equivalencia requiere que todos los resultados experimentales sean iguales. Esto incluye medir las lecturas en los acelerómetros. Como dijiste:

El gemelo B siente una fuerza de aceleración en el caso (1) pero no siente nada en el caso (2).

Lo que significa que la lectura de un acelerómetro no será cero en el caso (1) y será cero en el caso (2). Esta es una diferencia experimental que muestra la no equivalencia. Personalmente, considero que pensar en acelerómetros es muy útil para determinar qué debería ser equivalente a qué en el principio de equivalencia.

Supongamos que modificamos el caso 2 de la siguiente manera: los gemelos están en un pequeño laboratorio (lo suficientemente pequeño como para que no haya efectos de marea) donde todo el laboratorio está cerca del cuerpo gravitante y se mantiene estacionario con respecto a las coordenadas estándar de Schwarzschild por medio de propulsores. El gemelo B se sienta en una silla en el laboratorio mientras el gemelo A salta. Los gemelos sincronizan sus relojes en el momento en que A salta del suelo y los comparan cuando A aterriza.

El caso (1) se modificaría de la siguiente manera. En el Caso (1) ubicaremos el laboratorio en un espacio-tiempo plano lejos de cualquier fuente gravitante, pero usaremos el mismo laboratorio y los mismos gemelos y la misma silla, etc. En particular, los propulsores se dispararán exactamente a la misma velocidad que antes y A saltará exactamente con la misma fuerza que antes.

Todos los resultados experimentales serán los mismos en los casos modificados. El gemelo B medirá la misma lectura del acelerómetro distinta de cero en ambos casos y el acelerómetro del gemelo A marcará 0 durante el salto. Además, los relojes que llevan A y B leerán lo mismo. Dado que podemos calcular fácilmente los relojes en el marco de A en el caso (1), podemos usar esos resultados para predecir exactamente los relojes en el caso (2)

Creo que sigo lo que dices. Un experimento que el observador A podría hacer para diferenciar entre el caso (1) y (2) sería colocar un acelerómetro en el gemelo B y observar la lectura durante todo el vuelo del gemelo B (o preguntarle al gemelo B cuando regresaron a casa si sintieron alguna aceleración). ). En ese caso, la situación (1) y (2) realmente no son equivalentes. Pero, ¿la dilatación del tiempo es la misma entre las dos situaciones? Si es así, tiene algún valor tratar la situación (1) como la situación (2) ya que nos brinda una forma de calcular explícitamente el tiempo adecuado de los gemelos A y B.
@AdamKiddle La cantidad de dilatación del tiempo dependería de la masa del objeto gravitante. Sospecho que para cualquier escenario de espacio-tiempo plano dado, podría encontrar una masa que funcione, pero no he tratado de probarlo

Creo que su pregunta (bastante compleja) se responde de manera general en Mathpages de Kevin Brown, en este artículo: https://www.mathpages.com/rr/s6-05/6-05.htm

Compara los tiempos transcurridos para dos movimientos de inercia diferentes en el espacio-tiempo de Schwartzschild que se cruzan al principio y al final. ¡Aplicar a su pregunta específica es un ejercicio para el lector!

¡Gracias! Este es un gran recurso que creo que plantea la situación (2) de una manera ligeramente diferente, aunque más rigurosa. Menciona que (en SR), el resultado de la paradoja de los gemelos se atribuye a "una diferencia en las aceleraciones 'sentidas' localmente a lo largo de (dos) caminos". Luego dice que esta no es una buena descripción en GR porque dos geodésicas pueden cruzarse dos veces. Pero no veo cómo se contradicen entre sí... Podemos tener aceleración en GR debido a otras fuerzas (por ejemplo, cohetes como en (1)), o podemos pretender que estamos en un espacio-tiempo diferente donde esas fuerzas no t existe (como en (2)). ¿Los resultados son los mismos?
Al escribir ese último comentario me di cuenta de que la última línea es realmente el quid del problema para mí, así que la agregué a la pregunta principal.
¿Puedes demostrar la paradoja de los gemelos usando un espacio-tiempo de Schwarzschild?
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