¿Por qué los objetos siguen las geodésicas en el espacio-tiempo?

Podrías pensarlo de esta manera:

1) Tome una partícula libre, colóquela en algún punto del espacio-tiempo y déjela evolucionar.

2) Imagina que el movimiento no es geodésico, es decir$a_\mu\equiv v^\nu v_{\mu;\nu}\neq 0$, o en otras palabras, la aceleración no es cero. Nota: Sabemos que$a_\mu v ^\mu = 0$, o la 4-aceleración es normal a la 4-velocidad.

3) Imagina que eres esa misma partícula, es decir, estás en el marco de referencia donde$v^\mu=(0,0,0,1)$. Debido a que 4-aceleración y 4-velocidad son ortogonales, aún deberá "ver" 3-vectores de aceleración distintos de cero en este cuadro. No elaboraré mucho sobre este punto, pero si escribe las ecuaciones de movimiento de las partículas de prueba ubicadas a su alrededor, las verá acelerando en la dirección de$\bf{a}$. Me refiero al capítulo sobre marcos de referencia comóviles.

Ahora el remate. Como la masa inercial es equivalente a la masa gravitatoria pasiva, es posible que nunca distinga si está parado o moviéndose en un campo gravitatorio. Pero si puede ver una aceleración 3 que aparece, entonces realmente puede distinguir al darse cuenta de que no está parado. De ahí la contradicción.

En conclusión, el hecho de que todo se mueva a lo largo de las geodésicas está íntimamente relacionado con el principio de equivalencia.

Que esto funcione para una masa de prueba es esencialmente un postulado que, como lo indica la respuesta de Alexey Bobrick , está relacionado con el principio de equivalencia.

Por otro lado, se plantea la hipótesis de que en realidad se puede demostrar que este comportamiento es una consecuencia directa de las ecuaciones de Einstein para las masas físicas . Sin embargo, probar esto requiere resolver realmente las ecuaciones de Einstein completas, y el progreso en esa dirección es, hasta donde yo sé, incompleto. El siguiente es un relato sesgado (y ciertamente incompleto) de algunos de los que se han hecho.

Uno de los primeros ataques al problema vino del propio Einstein. En un trabajo conjunto de Infeld y Hoffman , la partícula puntual es tratada como un punto (Dirac$\delta$) singularidad en el espacio-tiempo. Se escribe la ecuación de Einstein y se expande en el límite newtoniano. Se muestra que la expansión en serie resultante tiene el primer término correspondiente al movimiento geodésico y el segundo término que da la primera corrección relativista (que se puede usar para explicar la precesión del perihelio).

El problema fue planteado nuevamente por Geroch y Jang en 1975. En ese documento, la materia se trata simplemente como su tensor de momento de energía. Es decir, se considera que la materia está representada por un dos tensor simétrico libre de divergencias (el lado derecho de la ecuación de Einstein) que satisface algunas condiciones de energía. El resultado principal de ese trabajo es que si$\gamma$es una curva de espacio-tiempo tal que para cada barrio$U$de$\gamma$, existe un dos-tensor simétrico sin divergencia que desaparece fuera de$U$y sin embargo no se desvanece en todas partes, entonces$\gamma$es una geodésica similar al tiempo. (También se debe ver este documento de Weatherall para obtener más comentarios).

El teorema de Geroch-Jang ha sido revisado y generalizado por Ehlers y Geroch en 2004. Es interesante señalar, como comentario adicional, que un análogo del teorema de Geroch-Jang también es cierto en las teorías de la gravedad de Newton-Cartan; este resultado se debe a Weatherall .

DMA Stuart adoptó un enfoque diferente del problema. Consideró un modelo de materia específico (en su caso, la ecuación de onda semilineal que se sabe que admite soluciones de solitones) y demostró que los solitones en la teoría acoplada gravitacionalmente viajan a lo largo de geodésicas similares al tiempo. Las referencias relevantes son este artículo y este otro artículo, ambos de 2004. (Advertencia: en ambos hay fuertes dosis de teoría PDE).

Gralla y Wald dieron un punto de vista aún diferente . En ese artículo, consideraron una partícula puntual como un límite de escala de una familia de métricas correspondientes a las soluciones de las ecuaciones de Einstein que poseen un cuerpo coherente o un agujero negro, y derivaron una ecuación de movimiento para la partícula límite. Iva Stavrov también asumió el punto de vista, donde se construyeron los conjuntos de datos iniciales que generaron dicha familia. En cierto sentido, este método es la contraparte rigurosa del trabajo original de Einstein-Infeld-Hoffman mencionado anteriormente.

Observación : Cualquier omisión de lo anterior representa los límites de mi propio conocimiento; es bastante probable que haya otros grandes cuerpos de trabajo con respecto a la hipótesis geodésica con los que no estoy familiarizado. Desafortunadamente, la frase "hipótesis geodésica" tiene dos significados distintos en la física teórica que conozco. Uno es el anterior en relatividad general. El otro se refiere a una hipótesis (debida a MF Atiyah y NS Manton) en física de altas energías de que la dinámica de los solitones puede describirse mediante geodésicas en un determinado espacio de módulos de soluciones. Por lo tanto, puede ser un poco confuso hacer una búsqueda bibliográfica.

Está relacionado con lo que Einstein llamó “el pensamiento más feliz de mi vida”, que para un observador que cae libremente desde el techo de una casa, el campo gravitatorio no existe.

Si pudiéramos elegir un sistema de coordenadas y una definición adecuada de derivada, de modo que la aceleración (la derivada de la velocidad) fuera cero para ese caso, la sensación de la persona en caída libre coincidiría con las matemáticas.

GR hace ese trabajo. El sistema de coordenadas está definido por el tensor métrico, y la ecuación geodésica no es más que el resultado de poner a cero la derivada covariante de la 4-velocidad.

Si hacemos una analogía del espacio-tiempo de 4 dimensiones con una superficie de la tierra de 2 dimensiones, el cambio de perspectiva es similar para darnos cuenta de que el viaje en avión de Tokio a París es una curva si se observa en un atlas mundial común de la aerolínea. revista. Pero es "recto" si unimos las 2 ciudades por una cuerda en un globo terráqueo.

El resultado de que una partícula de prueba en caída libre (una partícula cuyo efecto sobre el espacio-tiempo puede despreciarse) en un campo gravitatorio se mueve a lo largo de una geodésica puede deducirse (como un teorema de las matemáticas) del principio de equivalencia, que es una hipótesis de la teoría general de la relatividad.

Es como preguntar por qué funciona la primera ley de Newton. Primero debemos definir marcos de referencia inerciales, que son los marcos en los que funciona la primera ley de Newton (texto de The Large and the Small ).

• Un marco de referencia inercial es aquel en el que los cuerpos inerciales permanecen en reposo o en movimiento uniforme.

Está implícito en esta definición que los marcos de referencia inerciales son locales. Es decir, un marco de referencia inercial describe solo una región finita del espacio-tiempo en la que la desviación del reposo o el movimiento uniforme no es medible y puede despreciarse. El tamaño de esta región depende de la precisión de la medición, pero vale la pena señalar que un segundo en el tiempo corresponde a un segundo luz en la distancia. En términos de escalas de tiempo normales, local se refiere a intervalos de tiempo bastante cortos.

Un objeto inercial, es decir, uno en caída libre, sigue un camino localmente recto en un marco de referencia inercial, a lo largo de la dirección de su 4-velocidad en el espacio-tiempo.

Una geodésica se define por el transporte paralelo de un vector en la dirección que especifica. Así, la 4-velocidad determina una geodésica en el espacio-tiempo. El movimiento geodésico es simplemente una declaración de la primera ley de Newton, que en un marco de referencia inercial, los objetos inerciales permanecen en reposo o en movimiento uniforme en línea recta. La curvatura del espacio-tiempo significa que, en escalas de distancia más grandes, los objetos inerciales siguen caminos curvos, como la órbita de la luna alrededor de la Tierra.

En el contexto de la formulación lagrangiana de GR, ese hecho se sigue de la invariancia del difeomorfismo de la acción de la materia, ya que eso te lleva a las ecuaciones de conservación$\nabla ^aT_{ab}=0$para el tensor tensión-energía-momento$T_{ab}$, que, cuando se particulariza para polvo con presión cero y densidad de energía constante$\rho$, dónde$T_{ab}=\rho V_a V_b$, te da las ecuaciones geodésicas$V^a\nabla _a V^b=0$para las líneas de mundo de flujo del fluido/polvo. Esta es solo la versión más básica de este argumento, que puede hacerse mucho más fuerte.

En consistencia, el mismo argumento aplicado a la invariancia del difeomorfismo de la acción de Einstein-Hilbert te da la identidad de Bianchi$\nabla ^a G_{ab}=0$, dónde$G_{ab}$es el tensor de Einstein.

Einstein básicamente quería crear un modelo para el Universo, en el que la velocidad de C sea invariable Y se conserve la causalidad. Todo lo demás sale de las matemáticas de forma natural.

Una de las teorías que se pueden construir teniendo C como invariante y conservando la causalidad es construir relatividad especial y general... Una teoría en la que, entre otras cosas... Los objetos tendrán que seguir geodésicas en el espacio-tiempo... Y si eso modelo alguna vez termina siendo útil para nosotros, entonces eso es increíble porque ahora podemos usarlo para hacer predicciones. Y si no es así, al menos sabemos una forma en que el Universo no funciona :P

Así es como funciona la ciencia, observamos cómo probablemente funciona el Universo, hacemos algunas suposiciones (como que el Universo es probablemente determinista...) y establecemos nuestros axiomas y postulados que finalmente crearán un modelo matemático para el Universo que están tratando de aproximarse... Más tarde, un nuevo descubrimiento o una idea filosófica, podría revelarnos algo inesperado que luego también deberá tratar de explicarse en nuestras teorías ya establecidas y, si no podemos, tendremos que hacer nuevas. ¡unos!

Hasta donde yo sé, no tenemos una razón más "profunda" de por qué los objetos siguen las geodésicas en el espacio-tiempo, aparte de que ese es el modelo matemático que elegimos como el que mejor se adapta a nuestro Universo y los experimentos que hemos estado haciendo. y también nuestra intuición e ideas filosóficas sobre la realidad parecen indicarlo.

Tal vez el Universo no sea determinista, esa es una idea filosófica, pero ¿cómo lo sabríamos? Todos dan por sentado que lo es, por lo que todos están tratando de crear teorías sobre un mundo que es determinista (en oposición a uno que no lo es), por lo que preguntar "por qué" a esas preguntas es como preguntar "por qué el Universo es determinista". - bueno, no sabemos que lo es, ¡solo sentimos que tiene que serlo!

El mundo de la relatividad de Einstein surge de la necesidad de mantener C invariante (porque ese es el modelo que queríamos probar) y el determinismo o la causalidad para ser preservado. Así que todo lo demás surge de las matemáticas que crean esos (y otros) axiomas... ¡Aún no conocemos una razón más profunda de por qué todas esas cosas son como son!

La simplicidad es la raíz de la explicación: la distancia más corta entre dos puntos (relativamente notados) en nuestro sistema esférico inclusivo, es una curva y la función del diseño geodésico. La razón es que el camino de menor resistencia reduce el desperdicio de energía total a un número finito y, por lo tanto, la energía contenida total puede distribuirse equitativamente dentro del sistema...

N/0= f(n){1=1}

Porque todo en el espacio se mueve en línea recta hasta que actúa una fuerza externa (gravedad), donde todavía se mueve en línea recta alrededor de la masa de los objetos en los que orbita que ha sido atraído por su atracción gravitatoria. Respuesta simple, me disculpo por tal