Invariantes de Casimiro del grupo de Galileo

Su respuesta no es clara sobre la falta de claridad del artículo de WP del grupo galileano: le proporciona el álgebra de Lie del grupo galileano extendido centralmente, el álgebra de Bargmann, y le asegura que M es central, es decir, es el undécimo generador introducido para extender el espacio de configuración del álgebra galileana de este artículo de WP a este álgebra de Bargmann a la que se refiere y que citó en el artículo de WP.

Entonces, dada esta álgebra de mentiras y las invariantes de esta álgebra, M , como se postula en ella; el invariante masa-capa$ME- P^2/ 2$; y$\vec{W}\cdot\vec{W}$dónde$\vec{W} \equiv M \vec{L} + \vec{P}\times\vec{C}$, debería poder trabajar los conmutadores de los dos invariantes posteriores con todos los generadores, para ver que ambos conmutan con los 11 elementos del álgebra de Lie. Es un cálculo de fuerza bruta. Observa que el último invariante, a diferencia del penúltimo, no es puramente cuadrático en los generadores, al menos superficialmente.

Debido a la estructura del álgebra galileana, no es obvio cómo construir sus invariantes, pero el ensayo y error ha obrado milagros aquí. Todo lo que necesita hacer es verificar la conmutatividad con todos los generadores.

Si estaba preguntando cómo M entró en la imagen más allá del álgebra matricial de 10 dim en el artículo de WP que estoy citando, ha habido discusiones completas sobre las sutilezas reales de cómo se logra esto en preguntas bien respondidas, como 10442 o 12341 o este, 104216 .

En cuanto a su pregunta de candidatos rápidos para Casimiros, en general, recuerde que, para las álgebras de Lie clásicas vainilla, hay tantos Casimiros independientes, cuadráticos, cúbicos, etc., como la dimensión de sus sistemas de raíces, o, equivalentemente , su rango (la dimensión de su subálgebra de Cartan), introducido en cada buen libro o revisión de teoría de grupos de Lie.

En primer lugar, el álgebra que aparece en su pregunta es, de hecho, la extensión central del álgebra de Galileo.

El grupo galileano del espacio euclidiano tridimensional, denotado por$\mathrm{Gal}_{3}$, toma la forma

$$(s,\vec{a},\vec{v},R)\rightarrow\begin{pmatrix} R & \vec{v} & \vec{a} \\ 0 & 1 & s \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

dónde$R\in O(3)$,$\vec{v}\in\mathbb{R}^{3}$y$\vec{a}\in\mathbb{R}^{3}$. Puede ser visto como un$\rho:\mathrm{Gal}(3)\rightarrow\mathrm{GL}(5,\mathbb{R})$representación, donde$\vec{v}$y$\vec{a}$ambos son vectores columna.

Su álgebra de mentira, denotada por$\mathfrak{gal}_{3}$, toma la forma

$$(\epsilon,\vec{b},\vec{u},X)=\begin{pmatrix} X & \vec{u} & \vec{b} \\ 0 & 0 & \epsilon \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Las relaciones de conmutación de son

$$[H,J^{i}]=0\quad [H,P^{i}]=0\quad [H,K^{i}]=-P^{i} \tag{1.a}$$ $$[J^{i},J^{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon^{ijk}J^{k}\quad [J_{i},K_{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon^{ijk}K^{k}\quad[J^{i},P^{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon^{ijk}P^{k} \tag{1.b}$$ $$[K^{i},P^{j}]=0\quad[K^{i},K^{j}]=0 \tag{1.c}$$ $$[P^{i},P^{j}]=0, \tag{1.d}$$

dónde$H$genera traducción de tiempo,$\vec{P}$genera traducción espacial,$\vec{J}$genera rotación y$\vec{K}$genera el impulso galileano. Dado que no se trata de un álgebra de Lie semisimple, no se puede esperar encontrar su forma Killing y no existe una forma estándar de encontrar sus invariantes de Casimir.

Recuerda que para un álgebra de Lie dada$\mathfrak{g}$, su invariante de Casimir se define de la siguiente manera:

Definición : Dejar$\mathfrak{g}$ser un álgebra de mentira. La suma directa de todas las potencias tensoriales posibles,

$$\bigotimes(\mathfrak{g})\equiv\bigoplus_{p=0}^{\infty}\otimes^{p}\mathfrak{g},$$ conocido como el álgebra tensorial de$\mathfrak{g}$, contiene un ideal bilateral generado por $$x\otimes y-y\otimes x-[x,y],$$ dónde$x$,$y\in\mathfrak{g}$. Entonces el álgebra del cociente $$\mathcal{U}(\mathfrak{g})\equiv\bigotimes(\mathfrak{g})/\langle x\otimes y-y\otimes x-[x,y]\rangle$$ se llama el álgebra envolvente universal de$\mathfrak{g}$. Entonces, los elementos en el centro$Z(\mathcal{U}(\mathfrak{g}))$se llaman las invariantes de Casimiro de$\mathfrak{g}$.

En general, un operador Casimir$C$de un$n$álgebra de mentira dimensional$\mathfrak{g}$se dice que es de orden$m$si se puede expresar como un polinomio de grado$m$en la base de$\mathfrak{g}$. es decir

$$C=\sum_{k_{1},\cdots,k_{n}\geq 0}^{k_{1}+\cdots+k_{n}\leq m}f_{k_{1}\cdots k_{n}}X_{1}^{k_{1}}\cdots X_{n}^{k_{n}}, \tag{$\star$}$$

dónde$\left\{X_{i}\right\}_{i=1,\cdots,n}$es una base de$\mathfrak{g}$.

Para el álgebra galileana$\mathfrak{gal}_{3}$, uno puede buscar ayuda de la representación cuasi-regular de$\mathrm{Gal}_{3}$, que está dada por

$$\Gamma(s,\vec{a},\vec{v},R)f(t,\vec{x})=f(t-s,R^{-1}(\vec{x}-\vec{v}t-\vec{a}+s\vec{v})),$$

dónde$f$es una función integrable al cuadrado . Entonces, es fácil obtener la siguiente representación del álgebra galileana:

$$H=\frac{\partial}{\partial t},\quad P_{i}=\frac{\partial}{\partial x^{i}},\quad J_{i}=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}x_{j}\frac{\partial}{\partial x^{k}},\quad K_{i}=t\frac{\partial}{\partial x^{i}}.$$

A partir de los operadores diferenciales anteriores, se puede comprobar fácilmente que sus relaciones de conmutación satisfacen las ecuaciones (1.a), (1.b), (1.c) y (1.d). Ahora debería quedar claro que el álgebra galileana$\mathfrak{gal}_{3}$tiene un solo invariante de Casimiro, que es

$$C=\|\vec{P}\|^{2}.$$

También observe que en el álgebra galileana,$\vec{K}\times\vec{P}=0$, que es un elemento trivial en el centro de su álgebra envolvente universal.

A continuación, considere la extensión central del álgebra galileana.

Definición : Dejar$G$ser un grupo y$A$sea ​​un grupo abeliano. Un grupo$E$se llama extensión central de$G$por$A$si el siguiente diagrama es una sucesión exacta corta:

$$1\xrightarrow{}A\overset{\iota}{\hookrightarrow}E\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}G\xrightarrow{}1, \tag{2.a}$$ donde imagen de$\iota$está contenida en el centro de$E$, es decir$\text{im}(\iota)\subseteq Z(E)$.
Definición : Dejar$\mathfrak{a}$sea ​​un álgebra de mentira abeliana, y$\mathfrak{g}$un álgebra de mentira, el álgebra de mentira$\mathfrak{e}$es una extensión central de$\mathfrak{g}$por$\mathfrak{a}$si los siguientes homomorfismos del álgebra de Lie son una secuencia exacta corta: $$0\xrightarrow{}\mathfrak{a}\overset{\iota}{\hookrightarrow}\mathfrak{e}\overset{\pi}{\twoheadrightarrow}\mathfrak{g}\xrightarrow{}0, \tag{2.b}$$ de modo que$[\mathfrak{a},\mathfrak{e}]=0$, y$\mathfrak{g}\simeq\mathfrak{g}/\mathfrak{a}$.

Se sabe en cohomología de grupos que las extensiones centrales (2.a) de$G$por$A$se clasifican por el segundo grupo de cohomología$\mathrm{H}^{2}(G,A)$. Del mismo modo, el segundo grupo de cohomología$\mathrm{H}^{2}(\mathfrak{g},\mathfrak{a})$clasifica las extensiones centrales (2.b) de$\mathfrak{g}$por$\mathfrak{a}$.

En cuanto al caso del grupo de Galileo y su álgebra de Lie, se muestra en Grupos de Lie Lie Algebras Cohomology and some Applications in Physics de José A. De Azcárraga que las únicas extensiones centrales posibles de$\mathfrak{gal}_{3}$son como sigue

$$[H,J_{i}]=0\quad [H,P_{i}]=0\quad [H,K_{i}]=-P_{i} \tag{3.a}$$ $$[J_{i},J_{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}J_{k}\quad [J_{i},K_{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}K_{k}\quad[J_{i},P_{j}]=\sum_{k=1}^{2}\epsilon_{ijk}P_{k} \tag{3.b}$$ $$[K_{i},P_{j}]=m\delta_{ij}\quad[K_{i},K_{j}]=0 \tag{3.c}$$ $$[P_{i},P_{j}]=0, \tag{3.d}$$

dónde$m\in\mathbb{R}$.

Comparándolos con (1.a), (1.b), (1.c) y (1.d), se encuentra que aparece una anomalía que es$[K_{i},P_{j}]=m\delta_{ij}$. Este parámetro se conoce como la masa de la partícula en la mecánica newtoniana. Parametriza extensiones centrales de$\mathfrak{gal}_{3}$, que se denotará como$\mathfrak{gal}_{3}(m)$en el siguiente. En términos de coholomogía del álgebra de Lie, sugiere que

$$\mathrm{H}^{2}(\mathfrak{gal}_{3},\mathbb{R})\simeq\mathbb{R}. \tag{4}$$

Además, observe que el conmutador anómalo$[K_{i},P_{j}]=m\delta_{ij}$indica que no existe una representación de dimensión finita de$\mathfrak{gal}_{3}(m)$, porque de otra manera$\mathrm{tr}\left([K_{i},P_{j}]\right)=0=3m$lo cual es absurdo cuando$m\neq 0$. Esto también sugiere que, en general,$\vec{K}\times\vec{P}$no puede desaparecer en el álgebra extendida$\mathfrak{gal}_{3}(m)$.

Para encontrar las invariantes de Casimiro de$\mathfrak{gal}_{3}(m)$, se puede estudiar la mecánica hamiltoniana de una partícula newtoniana clásica, es decir

$$S[\vec{x}]=\int dt L(\vec{x},\dot{\vec{x}},t)=\frac{m}{2}\int dt|\dot{\vec{x}}(t)|^{2}. \tag{5}$$

Es un teorema matemático que una segunda clase de cohomología no nula de$\mathrm{Gal}_{3}$exhibe una obstrucción topológica para elevar su representación proyectiva a una representación lineal. La aparición de la anomalía (4) sugiere que el lagrangiano en (5) puede no ser totalmente invariante bajo una transformación galileana genérica. Los detalles se explican aquí . Uno puede verificar fácilmente que bajo un impulso galileano, el lagrangiano en (5) cambia por una derivada de tiempo total, lo que aún hace que la acción sea invariante. Usando el primer teorema de Noether, se obtienen las siguientes cargas conservadas asociadas con las transformaciones de Galileo:

$$\vec{p}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\vec{x}}}=m\dot{\vec{x}} \tag{6.a}$$ $$E=\vec{p}\cdot\dot{\vec{x}}-L=\frac{m}{2}|\dot{\vec{x}}|^{2}=\frac{|\vec{p}|^{2}}{2m} \tag{6.b}$$ $$\vec{l}=m\vec{x}\times\dot{\vec{x}}=\vec{x}\times\vec{p} \tag{6.c}$$ $$\vec{g}=m(\vec{x}-t\dot{\vec{x}})=m\vec{x}-t\vec{p}, \tag{6.d}$$

dónde$\vec{p}$,$E$,$\vec{l}$y$\vec{g}$son cargas conservadas generadas por traslación espacial$\vec{P}$, tiempo de traducción$H$, rotación$\vec{J}$, y impulso galileano$\vec{K}$en (1.a), (1.b), (1.c) y (1.d), respectivamente.

En el formalismo hamiltoniano, donde en el espacio de fase el corchete de Poisson$\left\{x_{i},p_{j}\right\}_{PB}=\delta_{ij}$está definido, uno puede verificar fácilmente que los corchetes de Poisson de las cargas de Noether anteriores son una realización canónica del álgebra de Lie$\mathfrak{gal}_{3}(m)$, es decir

$$\left\{E,l_{i}\right\}_{PB}=0\quad \left\{E,p_{i}\right\}_{PB}=0\quad \left\{E,g_{i}\right\}_{PB}=-p_{i} \tag{7.a}$$ $$\left\{l_{i},l_{j}\right\}_{PB}=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}l_{k}\quad \left\{l_{i},g_{j}\right\}_{PB}=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}g_{k}\quad\left\{l_{i},p_{j}\right\}_{PB}=\sum_{k=1}^{2}\epsilon_{ijk}p_{k} \tag{7.b}$$ $$\left\{g_{i},p_{j}\right\}_{PB}=m\delta_{ij}\quad\left\{g_{i},g_{j}\right\}_{PB}=0 \tag{7.c}$$ $$\left\{p_{i},p_{j}\right\}_{PB}=0. \tag{7.d}$$

Así, en el formalismo canónico de la mecánica newtoniana clásica aparece una anomalía clásica de la simetría galileana, aunque la acción es invariante galileana. Desde la perspectiva de la física esto es fácil de entender. Simplemente observando la trayectoria de una partícula libre clásica, no se puede decir qué tan masiva es la partícula. Solo se puede medir su masa midiendo su momento en diferentes marcos de referencia inerciales relacionados por impulsos galileanos.

La ventaja de usar las relaciones de conmutación (7) en lugar de (3) es que uno puede encontrar fácilmente que las cargas de Noether (6) satisfacen las siguientes dos restricciones:

$$E-\frac{|\vec{p}|^{2}}{2m}=0,\quad\quad\vec{l}-\frac{1}{m}\vec{g}\times\vec{p}=0, \tag{8}$$

que son útiles en la búsqueda de sus invariantes de Casimiro.

Ahora realice un análisis de las dimensiones relativas en el álgebra (3). Por conveniencia, las dimensiones de$H$,$\vec{P}$,$\vec{J}$, y$\vec{K}$se denotan como$h$,$p$,$j$y$k$, respectivamente. De las relaciones de conmutación (3), se tiene

$$hk=p,\quad j^{2}=j,\quad jk=k,\quad jp=p,\quad kp=m.$$

Del análisis dimensional anterior, se encuentra que$j$es adimensional y$k=\frac{m}{p}$, y$h=\frac{p^{2}}{m}$. De la ecuación$(\star)$, es claro que los operadores$H$,$\vec{P}$,$\vec{J}$, y$\vec{K}$solo puede aparecer en los invariantes de Casimir con exponentes positivos. Esto sugiere que uno realmente debería escribir las restricciones de sus dimensiones relativas como

$$\frac{kp}{m}=j=1$$ $$h-\frac{p^{2}}{m}=0.$$

Comparándolos con la ecuación (8), y observando que solo los términos con la misma dimensión relativa pueden sumarse en el polinomio$(\star)$de las invariantes de Casimir, se concluye que para el álgebra de Lie extendida$\mathfrak{gal}_{3}(m)$, sus invariantes de Casimiro solo pueden ser monomios de

$$\vec{A}=f_{0}\vec{J}+f_{1}\frac{1}{m}\vec{K}\cdot\vec{P}+f_{2}\frac{1}{m}\vec{K}\times\vec{P},\quad\mathrm{and}\quad B=g_{0}H+g_{1}\frac{1}{m}\|\vec{P}\|^{2},$$

dónde$f_{0}$,$f_{1}$,$f_{2}$, y$g_{0}$,$g_{1}$son constantes adimensionales a determinar.

Mirando la ecuación (8), una conjetura fácil sería considerar las siguientes combinaciones:

$$C_{1}\equiv M=mI$$ $$C_{2}\equiv U=H-\frac{1}{2m}\|\vec{P}\|^{2}$$ $$\vec{S}\equiv\vec{J}-\frac{1}{m}\vec{K}\times\vec{P}.$$

Obviamente,$C_{1}$y$C_{2}$son invariantes de Casimir. Si$\vec{S}$tiene algo que ver con las invariantes de Casimir necesita más trabajo. Al hacerlo, uno puede pedir ayuda a los corchetes de Poisson (7) porque son totalmente isomorfos a los corchetes de Lie (3).

Si una restricción de operador entre los cargos de Noether (6) (indicada como$\mathcal{Q}_{n}$en la siguiente discusión por conveniencia), digamos$\mathcal{O}(\vec{x},\vec{p})=0$en el álgebra envolvente universal de las cargas (6), no es una invariante de Casimiro, entonces usando la regla de Leibniz de los corchetes de Poisson, se tiene

$$\left\{\mathcal{O}^{2},\mathcal{Q}_{n}\right\}_{PB}=\left\{\mathcal{O},\mathcal{Q}_{n}\right\}_{PB}\mathcal{O}+\mathcal{O}\left\{\mathcal{O},\mathcal{Q}_{n}\right\}_{PB}=0,$$

lo que implica que$\mathcal{O}^{2}$debe ser un invariante de Casimiro. Esto sugiere que$\|\vec{S}\|^{2}$debe ser un invariante de Casimiro.

En conclusión, se encuentran tres invariantes de Casimiro independientes del álgebra galileana extendida centralmente:

$$C_{1}\equiv M=mI$$ $$C_{2}\equiv U=H-\frac{1}{2m}\|\vec{P}\|^{2}$$ $$C_{3}\equiv\|\vec{S}\|^{2}=\|\vec{J}-\frac{1}{m}\vec{K}\times\vec{P}\|^{2}.$$

$C_{1}$se conoce como la masa de la partícula.$C_{2}$se conoce como su energía interna, y$C_{3}$es su giro.