¿Por qué la posición y la velocidad son simetrías y la aceleración no?

En la mecánica newtoniana y la relatividad especial, el concepto principal es "marco inercial". Se puede definir la clase de equivalencia de marcos llamados inerciales como aquellos que se mueven relativamente entre sí con velocidad constante. En todos estos marcos, las ecuaciones de la física son invariantes (covariantes).

Primero: la definición de marco de referencia inercial parece tautológica: "Un marco es inercial si se mueve a velocidad constante en relación con un marco inercial"; pero de hecho no lo es, y el concepto es sutil: uno elige de las partículas que se pueden ver una con cierta característica y la llama "partícula libre" que es un marco inercial (por definición), desarrolla la física de esta partícula libre y extiéndalo a todos los marcos inerciales.

Segundo: La forma de extender estas leyes de la física al marco inercial se basa en las transformaciones de las coordenadas. Las transformaciones de Galileo y Lorentz toman en cuenta solo la posición y la velocidad, y se espera que cualquier otra reparametrización de la velocidad y la posición no afecte las leyes que hemos desarrollado.

La clave es la forma en que uno define esas transformaciones. Pongámoslo un poco más formal: uno debe definir el espacio que está usando; en la mecánica newtoniana es una variedad de espacio-3d con un tiempo ansoluto (una función escalar definida en todo el espacio cuyo gradiente no se desvanece) y una métrica euclidiana, mientras que en la relatividad especial es una variedad de espacio-tiempo 4d dotada de métrica de Minkowsky. Si se quiere calcular las simetrías de la teoría, es necesario buscar las isometrías del espacio involucrado. La mecánica newtoniana es invariante bajo traslaciones y rotaciones, mientras que la relatividad especial es invariante bajo todo el grupo de Poincaré.

Si cambiamos la parametrización de la trayectoria de una partícula con términos que involucran aceleración, obtendremos nuevos términos en las ecuaciones porque esas reparametrizaciones no son transformaciones en el conjunto de isometrías del espacio considerado.

Tercero: Tenemos, de hecho, una teoría que resuelve este problema: la teoría general de la relatividad. En este caso, el espacio-tiempo también es una variedad de espacio-tiempo 4d con una métrica lorentziana. El primer paso es calcular todas las isometrías del espacio-tiempo. En particular, GR es invariante bajo difeomorfismos, es decir, cualquier reparametrización suave de las líneas de universo de partículas libres dará las mismas ecuaciones. En este caso, las que hemos elegido como "partículas libres" son partículas que se mueven en geodésicas en el espacio-tiempo.

Como ejemplo, considere un cuerpo en caída libre: la mecánica newtoniana dice que este cuerpo no es una partícula libre porque la gravedad actúa sobre él. En las ecuaciones de movimiento aparecerá un término relacionado con la gravedad:

$$x = x_0+v_0t+\mathbf{\frac{1}{2}gt^2}$$

Sin embargo en relatividad general este término puede ser absorbido en la parametrización del tiempo:

$$\nabla_UU=0\Rightarrow \ddot{x}^\mu+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta=0$$ dónde $U$es la cuarta velocidad del bo libre, $\Gamma$son símbolos de Christoffel, relacionados con fuerzas ficticias como Coriolis, y el tiempo está reescalado $t^\prime\rightarrow t+\frac{1}{2}\frac{g}{v_0}t^2$.

Tenga en cuenta que si un cuerpo no se mueve libremente, eso significa que no se mueve a lo largo de una geodésica, y tratar de reescalar el tiempo para lograr una forma similar de las ecuaciones de movimiento conducirá a factores espurios, como en la relatividad especial y mecánica newtoniana:

$$\nabla_UU\not=0\Rightarrow \ddot{x}^\mu+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta=Forces$$

Creo que estás haciendo más de una pregunta aquí.

La primera es ¿Por qué las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales? En última instancia, esta pregunta se puede reducir a ¿ Por qué la velocidad de la luz es la misma en todos los marcos de referencia inerciales? Este es un hecho observacional para el cual no existe una teoría aceptada que lo explique. Es un postulado de la Teoría de la Relatividad Especial, por lo que no podemos esperar que esa teoría proporcione ninguna explicación.

La segunda pregunta es mucho más fácil de responder. Está preguntando por qué la posición y la velocidad son diferentes pero la aceleración es la misma en diferentes marcos de referencia inerciales.

Esta es una extensión del hecho de que 2 marcos que tienen diferentes orígenes pero ningún movimiento relativo medirán una posición diferente pero la misma velocidad, aceleración, etc., para un objeto. Y 2 fotogramas con una velocidad relativa constante medirán diferentes velocidades y posiciones, pero la misma aceleración, etc.

La aceleración es la misma en todos los marcos de referencia inerciales simplemente porque no hay una aceleración relativa entre ellos. Si las coordenadas de un evento en los marcos S y S' están relacionadas por$x'=x+vt$entonces$\ddot x'=\ddot x$, es decir, la aceleración - y todas las derivadas superiores - son iguales.

La aceleración no es la misma si se mide en diferentes marcos de referencia si hay una aceleración relativa entre ellos. Si las coordenadas en S, S' están relacionadas por$x'=x+vt+\frac12at^2$entonces$\ddot x'=\ddot x + a$. Sin embargo, si 2 fotogramas tienen la misma aceleración y difieren solo en la posición y la velocidad de los ejes de coordenadas, coincidirán en la aceleración medida para un objeto.