Encontrar la serie de Fourier constante e integral

Editado masivamente para proporcionar una respuesta completa:

La integración en cuestión es

$$S=\int_0^a \sin (n \pi x/a) \sin(n' \pi x/a) dx$$ (tomado de la página 134 de la 4ª ed. interna del EM de Griffiths)

Primero usa la identidad trigonométrica$\sin(A)\sin(B)=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos(A+B)]$Llegar

$$S=\frac{1}{2} \int_0^a \cos \left( \frac{n-n'}{a} \pi x \right)-\cos \left( \frac{n+n'}{a} \pi x \right) dx$$

Esto, cuando se evalúa en el caso de$n \not = n'$, da

$$S_{n \not =n'} = \frac{a}{2\pi(n'-n)} \sin ((n'-n)\pi) - \frac{a}{2\pi(n'+n)} \sin ((n'+n)\pi)$$

Pero desde$\sin(k\pi)=0$para cualquier$k \in \mathbb{N}$, estos términos desaparecen, por lo que$S_{n \not =n'}=0$.

En el caso de$n =n'$, el primer término en la integral con el$\cos$es$1$, por lo que la integral, cuando se evalúa es

$$S_{n =n'}=\frac{a}{2}-\frac{a}{2\pi(n'+n)} \sin ((n'+n)\pi)$$ pero por las mismas razones que antes, el seno desaparece, y nos quedamos con el deseado $S_{n =n'}=\frac{a}{2}$.

En términos más generales, también se podría argumentar que los senos de este tipo donde los factores en el argumento$n \not = n'$están siendo integrados deben dar$0$porque forman una base completa y, por lo tanto, son mutuamente ortogonales ... pero eso es álgebra lineal y quizás sea más adecuado para otra pregunta.