Derivación de la regla de anticonmutación del fermión

Básicamente, debe utilizar el enfoque de Heisenberg-Lagrange-Hamilton... comenzando por el campo Lagrangiano que conduce a la ecuación de onda de Dirac; entonces tienes que cuantificar el campo usando una expansión de modo en la que el campo fermiónico se expresa en términos de las soluciones libres de la ecuación de Dirac que, como sabes, son soluciones espinores. Por ejemplo, la expansión para un spin-${1}/{2}$campo de fermiones es:

$\hat{\Psi} = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega}} \sum_{s=1,2} [\hat{c}_s(k)u(k,s)\exp{(+ik.x)}+\hat{d}^{\dagger}_s(k)v(k,s)\exp{(-ik.x)}]$

Ahora considere un estado con dos fermiones creados por$\hat{c}^{\dagger}_{s_1}(k_1)\hat{c}^{\dagger}_{s_2}(k_2)$del vacío. Si considera que uno de estos estados dobles consiste exactamente en dos fermiones iguales, entonces ese estado debe ser antisimétrico bajo los intercambios$k_1 \leftrightarrow k_2$y$s_1 \leftrightarrow s_2$. Ahora bien, si los operadores$\hat{c}^{\dagger}_{s_1}(k_1)$y$\hat{c}^{\dagger}_{s_2}(k_2)$anti-conmutación, entonces los dobletes resultantes serían antisimétricos. Muchos libros de texto tienen tales pruebas, por ejemplo, la prueba aquí es de "Gauge Theories in Particle Physics Vol.1" de Aitchison y Hey. Solo se ha hecho una corrección simple aquí en la expansión.

Con respecto a la relación fundamental de anticonmutación, necesitamos postular lo mismo que aquí. Un ejercicio útil sería calcular el hamiltoniano de este campo.