¿Por qué la equivalencia de funtores se define de manera diferente a la equivalencia de categorías?

Parte de la importancia de la equivalencia de categorías tiene que ver con el isomorfismo de los objetos en dichas categorías.

Considere la categoría de todos los conjuntos finitos$\mathsf{FinSet}$(y mapeos entre ellos). Esa es una categoría enorme, ya que su colección de objetos es una clase adecuada. Sin embargo, en cierto sentido , no debería ser tan grande, ya que esencialmente solo hay tantos conjuntos finitos como números naturales.

Considere otra categoría$\mathcal A$, que es sólo los conjuntos finitos de la forma$\{1,\dots, n\}$. Ahora por cada$n\in \mathbb N$,$\mathcal A$tiene un conjunto representativo de ese tamaño mientras que$\mathsf{FinSet}$tiene muchos, pero en$\mathsf{FinSet}$todos estos conjuntos del mismo tamaño son isomorfos y no deberíamos tratar a los conjuntos isomorfos como si fueran diferentes.

Por lo tanto, no hace ninguna diferencia real si usamos$\mathsf{FinSet}$o$\mathcal{A}$para trabajar con conjuntos finitos. Entonces deberían ser iguales. Y lo son: estas categorías son equivalentes . Pero no pueden ser isomorfos:$\mathcal{A}$tiene un conjunto contable de objetos, pero$\mathsf{FinSet}$una clase adecuada.

Las categorías son realmente especiales, ya que forman una categoría 2: las transformaciones naturales dan una buena noción de 2-morfismos, un morfismo entre morfismos. Eso es lo que lleva a la posibilidad de usar la equivalencia en lugar del isomorfismo. Como sugiere la otra respuesta, hay numerosos ejemplos de pares de categorías equivalentes que no son isomorfos. De hecho, las categorías que se encuentran "en la naturaleza", al hacer matemáticas, casi nunca son isomorfas entre sí, mientras que hay muchas equivalencias muy importantes entre categorías.

Para algunos ejemplos, en orden creciente de dificultad:

(1) La categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo es equivalente a su opuesto, tomando el espacio dual. (¡Cuidado que el funtor de espacio dual no es isomorfo a la identidad!)

(2) La categoría de adjuntos de la categoría de conjuntos a cualquier categoría$C$con coproductos es equivalente a$C$: dado$c$, define el adjunto izquierdo en cualquier conjunto$S$ser los coproductos de$S$Copias de$c$y el adjunto derecho para enviar$c'$al conjunto$\mathrm{Hom}_C(c,c')$.

(3) Lo contrario de la categoría de conjuntos es equivalente a la categoría de álgebras booleanas atómicas completas. Esto se generaliza a la dualidad de Stone, el teorema de que los espacios totalmente desconectados son equivalentes al opuesto de las álgebras booleanas arbitrarias, y luego a la dualidad de Gelfand, que dice que los espacios arbitrarios compactos de Hausdorff son equivalentes al opuesto de los conmutativos.$C^*$álgebras.

(4) Algunas conjeturas muy importantes se centran en equivalencias de categorías. Por ejemplo, la simetría del espejo homológico postula un equivalente entre la "categoría de Fukaya" de una variedad simpléctica y la "categoría derivada" de una variedad compleja relacionada, su espejo, lo que lleva a la unificación de dos campos matemáticos muy dispares.

No se trata de dar un isomorfismo en cualquier caso excepto (1), y nadie querría hacerlo: el punto es que, cualquier matemática que puedas hacer en una categoría, puedes transferirla a una equivalente. En la teoría de categorías, normalmente nos preocupamos por los objetos hasta el isomorfismo y los morfismos hasta la igualdad, y eso es lo que refleja una equivalencia.

En realidad, #2 es una instancia degenerada de la noción detrás de #4.

Intuitivamente, en un mero conjunto, los elementos son iguales o no, no hay "entre". Esto se considerará una tremenda falta de soltura de conjuntos. Esta falta de soltura repercute en los morfismos (paralelos) de una categoría dada: dada$f:A\to B$y$g: B \to A$, los morfismos$f\circ g$y$\mathrm{id}_B$son iguales o no, no hay "entre"; Lo mismo va para$g\circ f$y$\mathrm{id}_A$. si ahora$A$y$B$son categorias y$f$y$g$functors, hay múltiples formas de$f\circ g$y$\mathrm{id}_B$ser "igual-ish", es decir, todos los isos$f\circ g \simeq \mathrm{id}_B$. Entonces, la idea es que las múltiples formas de ser iguales deberían ser la norma y el igual o no simplemente representa los casos particulares cuando las múltiples formas se reducen a una sola.

Pero basta de agitar la mano, intentemos ser (más) formales.

Definir un$2$-categoria ser una categoria enriquecida sobre categorias pequenas. Técnicamente un$2$-categoría$\mathcal K$son entonces los datos de

• una colección de objetos
• para cada par de objetos$A,B$, una categoría$\mathcal K (A,B)$
• para todos los objetos$A,B,C$un funtor$c_{A,B,C} : \mathcal K(A,B)\times\mathcal K(B,C) \to \mathcal K(A,C)$
• para cada objeto$A$un funtor$i_A: 1\to \mathcal K(A,A)$(dónde$1$es la categoría final)

tales que conmutan los diagramas haciendo el$c$Las composiciones asociativas de 's y la$i$'s neutrales para aquellos. Te dejo dibujar estos. (Sugerencia: estos son los mismos diagramas que para las categorías localmente pequeñas, donde el$\mathcal K(A,B)$son solo conjuntos). Para$c_{A,B,C}(f,g)$nosotros escribimos$g\circ f$y también escribimos$\mathrm{id}_A$por el objeto de$\mathcal K(A,A)$seleccionado por$i_A$.

En cualquier$2$-categoría$\mathcal K$, tienes una noción de equivalencia de la siguiente manera: un objeto$f$de$\mathcal K(A,B)$es una equivalencia si hay un objeto$g$de$\mathcal K(B,A)$tal que$f\circ g$es isomorfo a$\mathrm{id}_B$en$\mathcal K(B,B)$y$g\circ f$es isomorfo a$\mathrm{id}_A$en$\mathcal K(A,A)$.

Pequeñas categorías, funtores y transformaciones naturales forman un$2$-categoría$\mathbf{Cat}$(los objetos son categorías pequeñas, y$\mathbf{Cat}(A,B)$es la categoría que denotaste$[A,B]$; composiciones e identidades son las composiciones e identidades usuales de los funtores). Equivalencia en$\mathbf{Cat}$te devuelve el #4.

Ahora cualquier categoría$\mathcal C$puede ser considerado como un$2$-categoría$\underline{\mathcal C}$: los objetos son los de$\mathcal C$y para objetos$A,B$, la categoría$\underline{\mathcal C}(A,B)$tiene

• como objetos los morfismos$f:A\to B$de$\mathcal C$
• como morfismos sólo los morfismos de identidad

Una equivalencia en este$2$-categoría$\underline{\mathcal C}$es exactamente un isomorfismo en la categoría original$\mathcal C$. De hecho, un isomorfismo de la forma$f \circ g \simeq \mathrm{id}_B$solo puede ser un morfismo de identidad, lo que obliga a los dos lados a ser iguales. Entonces te devuelve el #2.

Por supuesto, ahora puede decir que es sospechoso preguntar, en la definición de una equivalencia$f$, para$f\circ g$y$\mathrm{id}_B$ser isomorfo, ya que significa que hay$\varphi : f\circ g \to \mathrm{id}_B$y$\psi: \mathrm{id}_B \to f\circ g$tal que$\varphi \circ \psi$y$\mathrm{id}_{\mathrm{id}_B}$son iguales (y lo mismo para$\psi \circ\varphi$y$\mathrm{id}_{f\circ g}$). Esto se debe únicamente a la falta de soltura del conjunto de endomorfismos de$f\circ g$y$\mathrm{id}_B$. Siguiendo las líneas de antes, ¿no debería ser esto solo un caso degenerado de un escenario donde esos$\varphi$y$\psi$son solo isomorfos? Sí, podría, si te mudas a$3$-categorias y vistas$2$-categoriza como degenerados$3$-categorías. Y puedes continuar, son los isomorfismos de las tortugas hasta el final...

(En realidad, la gente suele estar más interesada en los casos en los que incluso las leyes de asociatividad e identidad se mantienen iso, lo que lleva finalmente al mundo de$(\infty,1)$-categorías y más allá, pero esto está mucho más allá del alcance de esta respuesta).