¿Cómo podemos formalizar la noción de la cara de un gráfico plano?

Estoy buscando una manera de formalizar la noción de la cara de un gráfico plano. He leído los siguientes enlaces sobre el intercambio de pilas: definición formal de un gráfico plano , definición de un triángulo separador , cara de un gráfico no plano , noción de una cara en la teoría de grafos . También tengo un libro de texto introductorio de gráficos que solo menciona de pasada que las caras se pueden definir a través de una 'generalización del teorema de la curva de Jordan'. Estoy tratando de formalizar estas nociones para formalizar (hasta cierto punto) otra prueba que usa la teoría de grafos de una manera muy intuitiva. Mi problema principal es que parece que no puedo llenar los vacíos usando el teorema de la curva de Jordan para definir una cara de una manera que aborde todos los casos.

Defino un grafo plano de la siguiente manera: Sea$G = (V,E)$ser un gráfico. Decimos$G$es plana si se cumple lo siguiente: (i) existe una función inyectiva$f: V \rightarrow \mathbb{R}^2$, (ii) para cada borde$v_iv_j \in E$, existe un arco de Jordán desde$f(v_i)$a$f(v_j)$, y no hay dos arcos de Jordan que se intersequen excepto posiblemente en la imagen de un vértice bajo$f$.

Intento de definir una cara: supongamos que tenemos una incrustación plana de un gráfico plano$G$. Supongamos que hay un camino cerrado de$G$pasando por los vértices$(v,v_1,v_2,...,v_k,v)$. Por definición de un gráfico plano, hay arcos de Jordan entre$f(v)$y$f(v_1)$,$f(v_1)$y$f(v_2)$, etc. La unión de todos estos arcos de Jordan nos da una curva de Jordan. Por el teorema de la curva de Jordan, existe una región interior. Si no hay vértice,$v_i$, tal que$f(v_i)$se encuentra en el interior, llamamos a la región interior una cara interior del empotramiento plano. La cara exterior se define como el plano menos el empotramiento plano de$G$y menos todas las caras interiores.

La definición anterior es detallada, pero funciona en casos simples, como el siguiente gráfico con dos caras.

Sin embargo, esta definición falla para las dos incrustaciones planares siguientes (del mismo gráfico):

Aquí no sé cómo alterar mi definición para dar cuenta de estas situaciones cuando hay una 'línea' topológica en lo que de otro modo sería una cara.

¿Alguien puede señalarme un recurso o proporcionar una definición rigurosa? En particular, estoy buscando detalles explícitos, en lugar de simplemente saber que se puede hacer a través del teorema de la curva de Jordan.