¿Por qué la entonación justa no es práctica?

He leído sobre el debate de "entonación justa" versus temperamento igual de 12 tonos . Y en ninguna parte se indicó claramente por qué la entonación justa no es práctica. Aquí están mis suposiciones. Por favor, hágamelo saber si estoy en lo correcto.

Las frecuencias de entonación justa se basan en la serie armónica. Se elige un tono fundamental y luego todos sus armónicos se transponen dentro de una octava (es decir, en el rango de los dos primeros armónicos). Los primeros N armónicos representan 12 notas diferentes en ese rango.

Sin embargo, si un instrumento se afina con las frecuencias obtenidas de la manera anterior, el instrumento solo suena bien en una tecla. En otras claves suena desafinado (porque las relaciones de frecuencia para los intervalos no son fracciones enteras simples como 3/2). Por eso se desarrolló el sistema de afinación 12-TET, de forma que se pueden reutilizar las mismas cuerdas en todas las tonalidades sin que suenen desafinadas (y sin necesidad de resintonizar el instrumento al cambiar de tonalidad).

Lo que no está claro es por qué esto es así. La serie Armónica debe producir sonidos armónicos. Al principio parece que no lo hacen y, por lo tanto, se necesita un "truco".

Mi conjetura (consulte una fuente que lo explique) es que los tonos derivados de la serie armónica suenan bien en la clave según el tono que se eligió para la frecuencia fundamental de una serie determinada. Entonces, si elegimos C3 como la frecuencia fundamental, todos los intervalos estarán bien en C mayor, pero estarán desafinados en A mayor. Para que "trabajen" en A mayor, debemos elegir A3 como la frecuencia fundamental y calcular y transponer los armónicos. Por lo tanto, las 12 (o 24, o lo que sea) notas tendrán frecuencias ligeramente diferentes dependiendo de la clave. El compromiso de 12-TET se hace para que un instrumento no necesite cientos de teclas/cuerdas para tocar en varias teclas.

¿Es eso correcto?

No vas a llegar muy lejos en tu comprensión de estos asuntos leyendo acerca de las matemáticas. Necesitas encontrar algunas grabaciones para escuchar o algunos instrumentos virtuales electrónicos para experimentar.
En el contexto de la música generada por computadora, ahora puede ser más práctico que nunca.
@WheatWilliams Habla por ti mismo, Trigo. Las matemáticas me parecen muy esclarecedoras. No estoy sugiriendo que el OP no debería escuchar grabaciones o experimentar como usted sugiere, pero algunos de nosotros consideramos que las matemáticas son una herramienta poderosa para comprender estos asuntos.
@Dave exactamente. Lo pregunto en una relación lejana con mi proyecto computoser.com (actualmente usa MIDI, que se basa en el 12-TET, pero vale la pena conocer las posibilidades)
Tenga en cuenta que la definición de lo que es "A Major" (en relación con lo que sea su nota C) cambia en sí misma bajo la entonación. El círculo de quintas se rompe y en realidad tienes un número infinito de claves.
Wendy Carlos tenía un sistema de síntesis basado en computadora que permitía una rápida actualización de las tablas de afinación. Escribió y grabó muchas piezas en entonación justa. Con este sistema, podía comenzar en la entonación justa de do mayor y de repente modular a la entonación justa de fa mayor ajustando los tonos. ¡Podía dar la vuelta al círculo de quintas con una entonación justa! Los resultados se pueden escuchar en su lanzamiento de 1986 "Beauty in the Beast". (Sí, en realidad es una espiral de quintas; el C en el que terminas no es exactamente el C con el que empezaste).
Además de las razones proporcionadas por otras respuestas, su pregunta inicial ha hecho una suposición errónea en primer lugar que nadie abordó. Las escalas de entonación justa se basan en proporciones racionales, pero no en la serie armónica. Son mucho más complejos que eso para lograr una distribución de tono más equidistante que la serie armónica. Sin embargo, incluso si las escalas se construyeran simplemente sobre la serie armónica, aún surgiría el mismo problema de las potencias de los números primos que nunca se igualan a las potencias de otros números primos cuando se multiplican como productos de pasos tonales.

Respuestas (20)

Sí tienes razón. En cuanto a por qué la serie armónica no produce notas que funcionen en todas las tonalidades, la respuesta simple es que las matemáticas simplemente no cuadran.

Hagamos las matemáticas para la entonación justa: suponga que elige X Hz para la frecuencia fundamental y continúa desde allí. Entonces la octava por encima de la fundamental debe tener una frecuencia de 2X Hz. Mientras tanto, la quinta justa arriba de X tendrá una frecuencia de 3 ⁄ 2 X Hz. La quinta perfecta anterior tendrá una frecuencia de 3 ⁄ 2 * 3 ⁄ 2 X = 9 ⁄ 4 X Hz. Continuando con el ciclo de quintas, puede ver fácilmente que cada tono generado de esta manera tendrá frecuencia ( 3 ⁄ 2 ) n XHz para algún exponente n .

Si hay doce tonos en la escala cromática, entonces ( 3 ⁄ 2 ) 12 X debe ser un número entero de octavas por encima de X , es decir, ( 3 ⁄ 2 ) 12 debe ser igual a una potencia de dos. Pero esto es imposible porque ninguna potencia de 2 puede tener 3 en su descomposición en factores primos, como deben tener todas las potencias de 3 ⁄ 2 . De hecho, si no insiste en que la escala cromática tenga doce tonos, no podrá hacer que las matemáticas funcionen: ( 3 ⁄ 2 ) n != 2 m para cualquier valor entero positivo de n y m.

¿Está cerca, sin embargo? No lo suficientemente cerca. ( 3 ⁄ 2 ) 12 = 129,74, y la potencia más cercana de 2 es 2 7 = 128. En términos prácticos, esto significa que la octava A una octava por encima de A440 es 440 * 129,74 / 64 = 892 Hz, lo que definitivamente es audiblemente distinto de los 880 Hz puros que esperarías. Las matemáticas simplemente no funcionan: la entonación por sí sola no puede producir un conjunto de tonos que funcionen bien en todas las tonalidades.

Gracias. No puede, si comienzas desde una frecuencia fundamental. Pero si comienza con múltiples frecuencias fundamentales y termina con cientos de claves, potencialmente estará afinado para cada clave. Siempre que haya alguien capaz de jugarlo :) ¿Verdad?
@Bozho Bueno, en cierto sentido, esto es exactamente lo que hacen los músicos de cuerda y los vocalistas. Dado que un violín no tiene trastes, el jugador puede ajustar su entonación según sea necesario para cada nota, teniendo en cuenta el contexto de la armonía. Cuando un violinista toca un fa# en la tonalidad de sol, lo tocará un poco más moldeado que si la tonalidad fuera, digamos, la. Pero para instrumentos de tono fijo como los teclados, esto rápidamente se vuelve poco práctico.
De hecho, todos los instrumentos de viento tienen la capacidad de afinar notas individuales a través de una combinación de técnicas. Los intérpretes de orquesta siempre buscan miembros de acordes de 5.ª y 3.ª para subir o bajar, respectivamente, a sus equivalentes afinados, incluso si no están marcados explícitamente como "-14c".
En realidad, el verdadero problema detrás del templado no es qué tan mal se alinean las quintas perfectas (a través del tercer armónico) con las octavas (a través del segundo armónico), sino qué tan mal se alinean las terceras mayores (a través del quinto armónico) con las octavas. Para ver esto, tenga en cuenta que la quinta de igual temperamento está solo unos centavos por debajo de justo, mientras que la tercera mayor de igual temperamento está aproximadamente 14 centavos más que justo. Sin embargo, la esencia del razonamiento es la misma.
Esta respuesta no es del todo correcta. No aborda la premisa incorrecta de la pregunta. De hecho, no es necesario considerar más de una tecla para demostrar por qué es necesario templar un teclado. La respuesta correcta es "la entonación simple no puede producir un conjunto de tonos que funcionen bien en cualquier tono".
La explicación matemática ofrecida aquí es irrelevante: lo que ha demostrado es que en JI, B # está fuera de A natural (también está fuera por un factor de 129.7 ^ (1/7), no 129.7/64). La razón por la que un conjunto dado de tonos JI solo funciona para una sola tecla es que al elegir otra raíz, las proporciones ya no son correctas. Por ejemplo, en una afinación JI basada en C, la frecuencia de D (2da mayor) es 9:8 de la raíz, mientras que Db (2da menor) es 16:15. Tomando Db como raíz, de repente la segunda menor (ahora D) no es 16:15 sino (9:8)/(16:15) = 135/128, es decir, 1.054 en lugar de 1.066.
Quise decir "G## está fuera de A"
@staafl, repite la premisa incorrecta: "La razón por la cual un conjunto dado de tonos JI solo funciona para una sola tecla ...". De hecho, un conjunto dado de tonos JI solo funciona para un subconjunto de acordes de una sola tecla.

Quiero hacer una adición a todas estas excelentes respuestas.

Con entonación justa, no es posible hacer todos los acordes justos. Ni siquiera en una sola clave.

Veamos la escala mayor común basada en las tríadas mayores I, IV y V:

C 1:1 D 9:8 E 5:4 F 4:3 G 3:2 A 5:3 B 15:8

En esta escala, las tríadas mayores I, IV, V (4:5:6) y las tríadas menores iii y vi (10:12:15) son justas.

Pero la tríada menor II está desafinada: el intervalo DF es 32:27 en lugar de 5:6. Esto es ~ 294 centavos frente a 316, que es peor que el 300 de temperamento igual.

Peor aún, el intervalo DA es 40:27 en lugar de 3:2; 680 centavos frente a 702, de nuevo mucho peor que los 700 de igual temperamento.

Una forma de solucionarlo es aplanar D a 10:9, pero esto romperá la tríada V mayor. Simplemente no hay forma de hacerlos todos sin agregar más notas. Ni siquiera en una sola clave.

En la afinación pitagórica, puede corregir los intervalos de "lobo" al tener teclas separadas (o trastes, agujeros o lo que sea) para las notas enarmónicas. Entonces, por ejemplo, P5 tiene una proporción de 3:2, pero el enarmónico d6 es 262144:177147. Pero esto no funciona en JI de 5 límites porque "el mismo" intervalo debe tener una relación de frecuencia diferente según el contexto: si M3 debe estar en una relación de 5: 4, entonces M2 debe ser 9: 8 la mitad del tiempo y 10:9 la otra mitad.
Estaba desplazándome hacia abajo para agregar una respuesta sobre este punto cuando vi esta respuesta y la voté a favor. Merece más votos a favor, ya que señala la premisa incorrecta de que "si un instrumento se afina con las frecuencias obtenidas de la manera anterior, el instrumento... suena bien en una clave". De hecho, el instrumento suena bien solo en ciertos acordes, que ni siquiera te dan todos los acordes que necesitas para una tecla. Por ejemplo, si tomas A como una quinta por encima de D y F como una quinta por debajo de C, entonces tu acorde de F mayor tendrá una tercera muy alta (y definitivamente no solo).
Gran respuesta. Si está en la entonación justa de C, puede derivar la nota A de 2 maneras: 4 quintos por encima de C, o un cuarto y un quinto por encima de C. Y están desafinados entre sí: tener un acorde de Fa mayor afinado o un acorde de Re menor afinado, ¡pero nunca ambos!
Ok, pero seguramente si un compositor está eligiendo una escala de entonación justa para una pieza musical, la diseñaría para que todos los acordes que desea usar suenen bien; @phoog en su ejemplo, ¿por qué no simplemente agregar otro intervalo a su escala para que pueda tener un acorde de F mayor puro y justo? Seguramente ese es parte del objetivo de usar tales escalas, liberarse de las limitaciones de 12 tonos.
@Adamski, supones que los compositores eligen escalas para sus piezas; en la gran mayoría de los casos no es así como funciona. Si está hablando de un tono infinitamente variable, como con la voz humana o una cuerda sin trastes, entonces puede cantar o tocar un tono diferente para A dependiendo de si es el tercero de un acorde de F mayor o el quinto de un acorde de D . Si quieres llamar a eso una "nota" adicional en la "escala", entonces sé mi invitado. Y claro, para algunas personas que usan esas escalas, ese puede ser el punto de hacerlo. Pero no puedes tocar una pieza así en un teclado tradicional de 12 tonos.
@Some_Guy cuatro quintos por encima de X es E, y un cuarto y un quinto por encima de C es ... C. La nota A es un cuarto y un tercio por encima de C, o tres quintos. Con esto en mente, su comentario es por lo demás correcto.
@phoog absolutamente, ¡no sé lo que estaba diciendo en ese comentario anterior!

Alex Basson te ha dado una gran introducción a las matemáticas. Permítanme abordar la respuesta desde una perspectiva diferente, la del músico intérprete en un contexto histórico.

Dejando a un lado las matemáticas, para decirlo de manera simple, solo la entonación es lo que sucede cuando tienes un grupo de cantantes interpretando una capella , un cuarteto de cuerdas o cualquier otro conjunto de instrumentos monofónicos que pueden modificar o modificar su tono. Pero tan pronto como inserte un piano o una guitarra convencionales (que están afinados con un temperamento igual de 12 tonos) en el conjunto, todos los demás instrumentos e intérpretes cambiarán de entonación justa a un temperamento igual para no chocar con la guitarra o el piano. . Los cantantes y los instrumentistas de cuerdas no piensan conscientemente en ello; solo pasa.

También existen instrumentos que tocan solo en entonación pura y justa. Estos son instrumentos que solo pueden tocar una escala en una clave, y no hay notas adicionales fuera de eso. Incluyen la trompeta o corneta natural (que no tienen llaves, válvulas ni orificios de ventilación), o ciertos diseños de la flauta dulce o la gaita.

La entonación justa es extremadamente poco práctica para instrumentos que tocan acordes (guitarra o piano), o cualquier instrumento con tonos fijos que no se pueden doblar, como el vibráfono o la marimba.

¿Cuántas teclas quieres en una octava en tu teclado? En el período barroco, aún no se había inventado el temperamento igual de 12 tonos. Aunque los primeros clavicémbalos y órganos tenían 12 notas por octava, usaban varios esquemas de afinación que se basaban en la entonación justa. Cada instrumento solo se podía tocar con éxito en unas pocas teclas con el esquema de afinación en uso.

Para ampliar eso, los diseñadores innovadores en los años 1500 y 1600 construyeron algunos órganos y clavicémbalos con entre 14 y 36 tonos/teclas diferentes dentro de una octava para poder tocar en algo más cercano a la entonación justa en muchas teclas.

Decir que aprender a tocar un teclado con tantas teclas en una octava fue una dificultad adicional para el teclista es quedarse corto. También significó que los clavicémbalos y los órganos tenían que tener cuerdas y tubos adicionales para tocar los tonos adicionales, lo que aumentó significativamente el costo y las dificultades mecánicas de construir y mantener el instrumento.

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Este problema se resolvió en gran medida cuando se inventó la afinación "bien temperada" y posteriormente defendida por JS Bach. Más tarde, se desarrolló un verdadero temperamento igual de 12 tonos. Alrededor de este tiempo, la mayoría de los músicos de teclado perdieron interés en los teclados con teclas/tonos adicionales para aproximar solo intervalos en varias teclas.

en la era moderna

ha habido varios diseños para un teclado recién afinado para instrumentos musicales electrónicos, con muchas más de 12 teclas/notas en una octava.

Conozco a un guitarrista eléctrico, Jon Catler , que toca guitarras construidas con trastes extra para hacer 31 notas de temperamento igual en una octava. Su propósito es tocar música tonal convencional que permita a un intérprete hábil acercarse a los intervalos entonados en muchas tonalidades; no está componiendo ni tocando música o escalas exóticas no occidentales. Últimamente ha estado grabando en una nueva guitarra que diseñó con 64 notas en una octava que dice logra una entonación justa en todas las teclas.

A continuación se muestran imágenes de dos diseños de guitarra que vende, y debajo hay una demostración en video, tocando una guitarra de un tercer diseño.

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No muchos guitarristas querrían aprender a tocar uno de esos instrumentos. Eche un vistazo de cerca a esos trastes en esos diapasones y verá por qué la entonación en una guitarra no es práctica para nadie, excepto para unos pocos músicos de vanguardia que quieren tomarse la molestia de desarrollar una técnica de interpretación muy complicada en el nombre. de crear intervalos más puros.

Una grabadora de comentarios: el tono depende un poco de la presión de la respiración. Más presión agudiza la nota; menos se aplana. Las flautas dulces de madera blanda (p. ej., pera, arce) son más propensas a cambiar de tono que los instrumentos de madera dura (p. ej., ébano). En nuestro consort usamos la presión de la respiración extensivamente para afinar los acordes solo para afinar.
Solo un comentario de un percusionista: los tonos del vibráfono en realidad se pueden doblar. La técnica general para ello es golpear como de costumbre y luego presionar la barra con un mazo de goma, comenzando desde un nodo (donde la cuerda pasa a través de la barra) hacia el centro. Esto reduce el tono y, como era de esperar, amortigua el sonido y corta el sostenido antes de lo habitual, ya que la vibración se detiene por el contacto entre la barra y el mazo. Desconozco una técnica para doblarse hacia arriba. También es posible en marimba pero el efecto es mucho menos notorio.

Me he encontrado con un sistema aún más asombroso para producir intervalos puros en una guitarra. Un guitarrista turco, Tolgahan Çoğulu , ha patentado un sistema para construir una guitarra que tiene canales debajo de cada posición de cuerda que permite la rápida instalación o remoción de cualquier cantidad de trastes diminutos parciales, cada uno de los cuales tiene el espacio de una cuerda, que se pueden ajustar hacia arriba o hacia abajo. hasta cualquier posición microtonal arbitraria martillando sobre ellos con una pequeña herramienta "spudger".

El ejecutante podría volver a calibrar todas las posiciones de los trastes y los intervalos de todo el diapasón cada vez que desee tocar en un sistema de afinación diferente.

Aparentemente fue desarrollado para el estilo de música turco llamado maqam , que usa intervalos de cuarto de tono que no se encuentran en la música occidental. Pero el luthier también demuestra su uso en la música occidental que utiliza sistemas de afinación de temperamento igual o de medio tono, y menciona que sería útil para tocar piezas occidentales del Renacimiento o del Barroco.

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En estos dos videos, brinda una descripción técnica, narrada en inglés, y demuestra el uso de su instrumento al tocar extractos de varias composiciones tradicionales diferentes de diferentes períodos históricos en la música turca y occidental.

Su sitio web indica que construirá y venderá muchos estilos de guitarras y otros instrumentos con trastes (no solo guitarra clásica) por pedido especial, pero se brindan pocos detalles.

Eso es inteligente y completamente impresionante. En la viola usamos trastes atados, pero no son tan efectivos como los grandes trastes sólidos elevados de una guitarra moderna, por lo que esta es una solución realmente genial para un problema que la mayoría de la gente ni siquiera sabe que existe.

La entonación justa produce sonidos armónicos; quizás los sonidos más armónicos posibles. Tiene razón en que para que funcione un sistema Justly Tuned, entonces cada uno de los tonos que use deberá ajustarse en relación con el tónico actual. Debido a esto, tiene razón al pensar que tendrá que haber muchos "sabores" diferentes de cada nota, según el contexto. Ha habido un enorme trabajo realizado en este campo por muchos compositores y científicos durante muchos siglos. La fuente que elijo compartir aquí es el trabajo realizado por el compositor estadounidense Ben Johnston. Este es un ejemplo de la notación que usó para distinguir entre cada nota específica, y se crean realizando operaciones matemáticas simples (aritmética básica).

Daré una breve explicación del sistema de Johnston aquí y lo relacionaré con su pregunta. La motivación de Johnston era fingir que el temperamento igual de doce tonos nunca se convirtió en una tendencia popular: fingió que los compositores habían pensado que era importante describir explícitamente la entonación a través de su sistema de notación. Por supuesto, esto no es lo que sucedió, por lo que tuvo que crear un sistema propio. Podría pensar en su sistema como una forma de pasar de una nota a otra sin tener que definir explícitamente CADA NOTA que se necesitaría usar. Esto puede parecer confuso, así que déjame definir algo que debería resultarte familiar: la escala mayor.

La escala mayor es un patrón de intervalos que produce notas que se pueden combinar melódica y armónicamente para hacer música. Hay un patrón distinto entre cada nota en la escala con el que puede estar familiarizado. Si nuestra escala está en do mayor y nuestras notas son

c d e f g a b c

luego, los intervalos entre cada nota seguirán el patrón de tonos enteros (W) y semitonos (H) que se muestran a continuación.

c d e f g a b c
 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^  
 W W H W W W H

Este patrón se mantiene si está utilizando un piano, donde cada tono completo es 'igual' a todos los demás tonos completos. PERO en entonación justa, esta suposición no se sostiene. ¡En la entonación justa, define EXACTAMENTE cuál es el valor de un tono completo, así como CUALQUIER OTRO INTERVALO QUE UTILICE!

Si fuéramos a seguir el modelo de Johnston, entonces definiríamos los intervalos usando las piezas más simples posibles. Para intervalos musicales, eso significa proporciones entre números enteros con valores bajos. El razonamiento detrás de esto es que así es como funciona una serie armónica . Por su pregunta, sé que está familiarizado con este concepto, así que no lo describiré mucho más que diciendo que si quiere hacer una escala con el mayor potencial armónico, entonces elegirá intervalos de las notas más bajas de la serie armónica (que se muestra por orden de aparición aquí):

The Octave: 2/1,
The Perfect Fifth: 3/2,
The Perfect Fourth: 4/3,
The Major Third: 5/4,
The Minor Third: 6/5

¡Estos cinco intervalos son suficientes para hacer acordes armónicos simples! Empezamos con la octava. Luego lo dividimos en dos intervalos: el Quinto Perfecto y el Cuarto Perfecto. A continuación, dividimos la quinta perfecta en dos partes: la tercera mayor y la tercera menor (observa cómo el numerador de la proporción anterior se convierte en el denominador de la siguiente proporción y los números crecen en una sucesión de 1). Ahora solo necesitamos dividir los tercios en intervalos más pequeños para que podamos tener melodías que puedan subir y bajar suavemente.

Una de las formas más sencillas de hacerlo es construir acordes mayores que se puedan "apilar" entre sí. ¿Por qué acordes mayores? Porque es un acorde fundamental dentro de la serie armónica.

1/1 - 5/4 - 3/2

Entonces, si usamos el acorde mayor como patrón y lo copiamos varias veces, podemos producir un conjunto de notas dentro de la escala mayor. Al hacer esto, estamos haciendo una escala muy simple, y solo usamos tres números primos: 2, 3 y 5. (El sistema de Johnston puede acomodar números primos hasta 31, y cualquiera podría extenderlo teóricamente para incluir tantos primos como ellos desean).

Si usamos los tres primeros intervalos de la serie armónica para los parámetros de copiar el acorde Mayor, obtendremos una buena cantidad de tonos para hacer nuestra escala. Comenzamos cambiando el patrón hacia arriba para comenzar en el tono una quinta perfecta (la proporción 3/2) por encima de la tónica.

                1/1 - 5/4 - 3/2
                            3/2 - 15/8 - 9/8

Luego, copiamos el patrón en el tono una quinta perfecta por debajo de la tónica (equivalente a una cuarta perfecta por encima de la tónica, pero por ahora está menos complicado ir por debajo).

    2/3 - 5/6 - 1/1
                1/1 - 5/4 - 3/2
                            3/2 - 15/8 - 9/4

Ahora vamos a nombrar los tonos para dar algo de claridad. Si 1/1 es C, entonces:

     f     a     c
    2/3 - 5/6 - 1/1
                 c     e     g
                1/1 - 5/4 - 3/2
                             g      b     d
                            3/2 - 15/8 - 9/4

o

 c     d     e     f     g     a      b     c
1/1 - 9/8 - 5/4 - 4/3 - 3/2 - 5/3 - 15/8 - 2/1

Esta es una escala mayor derivada de C (observe cómo las proporciones del acorde F ahora se transponen, lo que significa que ahora están "por encima" de C, y D se transpone una octava hacia abajo). Para completar esta explicación, es necesario recordar la primera descripción de los intervalos entre una escala igualmente temperada, que estaba compuesta por dos intervalos: tonos enteros y semitonos. La escala que acabamos de hacer (juego de palabras) está Justly Tuned, ¡así que en realidad obtenemos dos tipos de tonos completos! Los intervalos consecutivos de la Escala Mayor Justa son:

    c  to  d  to  e  to   f to  g  to  a  to b  to  c 
1/1 -  9/8 - 10/9 - 16/15 - 9/8 - 10/9 - 9/8 - 16/15

¿Porque es esto importante? Bueno, muestra que la entonación Just, como notaron, introduce mucha variedad cuando se trata de intervalos. Esto significa que debe prestar especial atención a cómo se relaciona cada nota con las demás. Esto es difícil de hacer sobre el papel, pero compositores como Ben Johnston y Toby Twining lo han estado haciendo durante muchos años, por lo que tienen mucho que enseñar a quienes estén dispuestos a escuchar.

En conclusión, Bozho, no es poco práctico componer música utilizando la entonación justa. Dicho esto, no es fácil. Si más compositores decidieran aceptar el desafío, entonces podríamos desarrollar más herramientas para hacer el trabajo más eficiente. Por ahora, todavía queda mucho trabajo por hacer.

¡Salud!

Tenga en cuenta que su A, 5/3 por encima de C, también es (5/3)/(9/8) = 40/27 por encima de D en lugar de 3/2. Esto hace que los acordes D suenen particularmente horribles. La quinta justo por encima de D está 81/80 por encima de eso (esta relación se conoce como coma sintónica), y hace que los acordes de Fa mayor suenen bastante mal. Esto explica la necesidad de temperamento incluso en un teclado de siete teclas por octava destinado a reproducir música diatónica en una sola tecla.
@phoog Gracias por señalarlo. Estaba tratando de insinuar este problema, pero olvidé entrar en sus implicaciones en mi respuesta. Tienes razón en que este problema podría resolverse usando un temperamento, pero también podría resolverse sabiendo cuándo bajar D por la coma sintónica (o subir A). El temperamento es una solución que asume mucho, a saber, que estamos tocando un instrumento con un conjunto fijo de tonos como un piano. Los coros y cuartetos de cuerda no tienen estas limitaciones, y tampoco las computadoras, por lo que si nuestro objetivo es escribir música para estos instrumentos, podemos elegir una entonación libremente.
+1 - Desde mi perspectiva, esta es una respuesta importante. La pregunta asume que JI es "poco práctico", pero depende de sus objetivos. Los oídos occidentales modernos están acostumbrados a 12-TET y temperamentos comprometidos. Existen muchas otras escalas posibles, incluidas las escalas JI que tienen una gran variedad de intervalos. Sí, algunos intervalos sonarán "mal", especialmente cuando se usan armónicamente, pero (1) la armonía no lo es todo en muchos tipos de música, y (2) las variedades de sonido "afinado" frente a "desafinado". " dan una dimensión completamente diferente a la música, como bien entienden personas como Johnston y su maestro Harry Partch.
"El temperamento es una solución que asume... que estamos tocando un instrumento con un conjunto fijo de tonos": tenga en cuenta que mi comentario sobre la necesidad del temperamento todavía está en el contexto de un teclado. De hecho, el temperamento es una solución al problema de tocar un instrumento con un conjunto fijo de tonos, pero la mayoría de la gente no se da cuenta de esto y trata de usar el concepto cuando no es necesario, como con voces y cuerdas. Pero incluso con voces y cuerdas tienes bombas de coma, que requieren algún tipo de compromiso, las más prácticas de las cuales son generalmente de temperamento o al menos parecidas al temperamento.
Al decir eso, estoy pensando en el Ave María de Josquin, donde tienes que modificar ciertas notas sostenidas o usar intervalos templados si quieres terminar en el mismo tono en el que comenzaste.

El uso de un instrumento con clave con Just Intonation crea un montón de acertijos que deben resolverse. O se enfrenta a observar los límites para navegar de un lugar a otro, o hacer "bombas de coma" (igualar intervalos cercanos, o doblar/vibrar entre ellos porque están lo suficientemente cerca).

Sin embargo, el problema no es solo la entonación. Es causado por tratar de tocar un instrumento que tiene un conjunto de teclas (y anotarlo como tal), en lugar de ser continuo. En otras palabras, las teclas con nombre pueden ser una mala interfaz para Just Intonation.

En un instrumento sin trastes, JI no solo es práctico, sino también la forma sensata de navegar. Detener una cuerda en una nota existente y tocar un séptimo armónico allí (es decir, notePitchInHz * 7) es completamente natural y se puede describir fácilmente, pero esa nota no tiene un 'nombre' obvio.

Además de solo etiquetar teclas, Just Intonation podría ser la única forma viable de hacer un tono relativo de una manera general: imagina que tienes botones en un instrumento monótono etiquetados como: /2, *2, /3, *3, /5, * 5 ....

La gente ya usa celosías de tono que se derivaron de esta manera; como horizontal es *3, vertical es *2, etc.

Una empresa relativamente nueva en Suecia, True Temperament , moderniza guitarras eléctricas, acústicas y clásicas con nuevos mástiles o diapasones con posiciones de trastes muy modificadas que están diseñadas para mejorar la entonación.

Si entiendo su intención, su diseño "Thidell" es para tocar con algo más cercano a los intervalos puros, pero principalmente en las teclas de guitarra más comunes de E, A y D. Cuanto más te alejas de esas teclas, menos preciso es el la entonación obtiene.

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También tienen varios otros diseños para producir otros tipos de entonación más adecuados para otros propósitos. Por ejemplo, hacen un diseño de trastes completamente diferente para tocar las teclas que se encuentran más comúnmente en el jazz.

Esto parece un compromiso que podría funcionar. No he visto, escuchado ni probado ninguno de sus cuellos o instrumentos, pero hay videos de demostración y audio en el sitio web.

El ejemplo más extremo es esta opción de pedido especial, un diapasón que, según afirman, permite tocar la entonación pura en una sola tecla (nuevamente, si entiendo la intención correctamente, todo esto es muy complicado).

Tenga en cuenta que hay 14 trastes por octava, porque aparentemente (no he trabajado a través de la teoría musical) ciertos acordes requieren un tercio mayor o menor más agudo o más bemol que el que pueden proporcionar solo 12 posiciones de traste. Por lo tanto, en función del acorde, puede elegir un G# o un Ab que tengan tonos microtonales claramente diferentes, por ejemplo, según el tono que produzca el intervalo correcto y afinado en ese acorde en particular.

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A Steve Vai le gustan estos. Publiqué algo sobre estos el año pasado. Planeo adaptar una de mis guitarras con un Thidel, solo por diversión.
Siempre pensé en esto como una afinación compensada (exclusiva del instrumento), y no solo como entonación. ¿Hay una respuesta aquí que aclare eso?

Para que "trabajen" en A mayor, debemos elegir A3 como la frecuencia fundamental y calcular y transponer los armónicos.

Esta es una de las mayores percepciones erróneas sobre la entonación justa. Una cuarta perfecta no es un sobretono (es un trasfondo), por lo que si desea tocar música en la que la cuarta perfecta desempeñe un papel importante (lo cual, afrontémoslo, es prácticamente cualquier cosa en la música occidental), entonces necesita usar una serie armónica que comienza en la cuarta.

Es decir, si quieres tocar en la tonalidad de A, tu frecuencia fundamental debe ser D, no A. Eso te dará un agradable acorde de D armónico.

Veo muchos comentarios aquí que se enfocan en quintas que no se cierran en octavas, pero no es obvio para mí por qué eso debería importar. La mayoría de las canciones, especialmente en la música folclórica, no se modulan por todas partes. Se adhieren a los acordes cerca de la tecla de inicio, y mientras estén afinados, el resto realmente no importa.

Por ejemplo, si está tocando en C (usando la serie armónica de F₀), tendrá una afinación perfecta para los intervalos en los acordes C⁷, F⁷, G, A, Am, Em y Bm. La quinta del acorde Dm estará desfasada por una coma sintónica (alrededor de 21,5¢). No sé tú, pero yo puedo tocar muchas canciones usando esos acordes.

Preparé una hoja de cálculo con las afinaciones armónicas que he estado usando si desea probarlas: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1qTgPaLqDd8J315zxJ1ub5pbDWnlDHkJ5CNVYa_5JrnA/edit#gid=0

"Veo muchos comentarios aquí que se centran en las quintas y no en las octavas": obviamente debería importar si estás afinando un instrumento de teclado de 12 tonos. Ahí radica la diferencia entre "entonación" en la frase solo entonación y "temperamento" en la frase igual temperamento (o cualquier otra). Sin embargo, su lista de siete acordes utiliza varios tonos que no se encuentran fácilmente en la serie armónica de F, a saber, B-bemol, C# y F#. Además, en muchos contextos, el problema no son solo los intervalos armónicos sino también los intervalos melódicos, por ejemplo, si tiene la línea de bajo común CADGC.
B-bemol (en la afinación que estoy usando actualmente) es el armónico 21 de F, el séptimo armónico de C. C # es el armónico 25 (un tercio mayor por encima de A), y F # es el armónico 135 (un tercio mayor por encima de D): todo dentro de cuatro factores impares en una afinación de 7 límites.
"B-bemol (en la afinación que estoy usando actualmente) es el armónico 21 de F, el séptimo armónico de C": esto significa que la proporción de la quinta en su acorde de B bemol es 32/21 en lugar de 3/2. De acuerdo, es posible que no necesites un acorde de si bemol en do mayor, pero quizás sí. El quinto D-to-A es un problema más significativo. Puede haber muchas canciones que no requieran iio V/V, pero es un acorde prominente en muchas progresiones comunes, ciertamente más común que vii.

Aquí hay una tabla que he adaptado de una en Wikipedia que ilustra cómo la entonación justa difiere del temperamento igual de 12 tonos.

En la afinación de instrumentos modernos, una octava se divide en 1200 centésimas. Hay 100 centavos en un semitono de temperamento igual, y todos los semitonos son iguales en la distancia que los separa.

Sin embargo, en entonación justa, no todos los semitonos tienen el mismo tamaño. Esta tabla explica las discrepancias y le muestra cuán desafinados están ciertos intervalos musicales en el piano, órgano, sintetizador o guitarra de 12 tonos temperados por igual.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Como puede ver, en el temperamento igual de 12 tonos, todos los intervalos excepto la octava están ligeramente desafinados. Los intervalos más desafinados son el tritono, la tercera menor, la sexta mayor, la tercera mayor y la sexta menor.

También tenga en cuenta que los intervalos entonados no se pueden expresar como valores enteros de centavos en primer lugar. El centavo es una unidad de medida matemática conveniente basada en un temperamento igual de 12 tonos. Entonces, la unidad del centavo realmente no tiene nada que ver con relaciones de frecuencia puras.

Aquí hay una lista enorme de 700 tonos dentro de una octava, ordenados por diferencia de frecuencia, con sus respectivos nombres, cuando existen (a la gente de Just Intonation parece no importarles mucho los nombres): kylegann.com/Octave.html y aquí está el misma tabla con las representaciones decimales reales, en lugar de solo fracciones: a3c8e3f1dc0bac4f596b4c29df042f945b58fc7e.googledrive.com/host/…
¿Cómo defines ese tritono? ¿Es una cuarta disminuida o una quinta aumentada? ¿Cuál es la relación de entonación justa para un tritono? 45/32? 25/18? 36/25? En otras palabras, en entonación justa, tampoco todos los tritonos tienen el mismo tamaño.

Los cimientos de la teoría musical existente se construyeron cuando los datos científicos sobre la percepción del sonido estaban ausentes y se inclinaron al misticismo numérico cuya fuente era que los intervalos de la música consonante corresponden a la división de la cuerda en proporciones de pequeños números enteros. Ahora se conocen los siguientes hechos: -la señal de sonido de los instrumentos musicales básicos existentes puede considerarse como la suma de la frecuencia fundamental y los armónicos cuyas frecuencias son múltiplos de la frecuencia fundamental y cuya intensidad disminuye rápidamente en el caso común. -el oído puede ser considerado como un banco de fuertes filtros de bandas superpuestas cuyos diapasones corresponden aproximadamente a un tono musical y por lo tanto una proporción de 1.122 (o 1/1.122=0,891) -la sensación de disonancia surge cuando frecuencias simultáneas existentes están en el mismo diapasón.

Es posible con la ayuda de estos conocimientos llegar a las siguientes conclusiones: - los intervalos con proporciones de números enteros pequeños son consonantes en cuanto a ellos y sus primeros armónicos (más fuertes) proporcionales no pertenecen a valores disonantes. Acerca de sus armónicos, es evidente que cuanto menor sea el número en las proporciones de los intervalos, mayor debe ser el número de armónicos de las notas para lograr la proporción de sus frecuencias por intervalo de tono o menos. Pero cuanto mayor es el número de armónicos, menor es su intensidad y más débil la sensación de disonancia correspondiente. Por ejemplo: para 5 y 7 armónicos si el intervalo es 3/2- 3*5/(2*7)=15/14=1.07, para 3 y 5 armónicos si el intervalo es 7/4- 7*3/(4* 5)=21/20=1.05 Es decir, en el segundo caso, se obtiene una relación más favorable para las disonancias para armónicos más fuertes (3 y 5 en lugar de 5 y 7). La pregunta de por qué la entonación justa no es práctica se considera muy convincentemente en el artículo „Renaisance „Just information“ ¿Estándar alcanzable o sueño utópico? (http://www.medieval.org/emfaq/zarlino/article1.html )

yuri vilenkin

La entonación justa solo es poco práctica si insiste en tener una escala de más de seis pasos fijos, con todos los intervalos en un límite de 5. Dios y/o las matemáticas no funcionan de esa manera.

La forma más convincente de expresarlo es esta: ninguna potencia de dos es también una potencia de tres, y ninguna potencia de tres es también una potencia de cinco.

Recomiendo encarecidamente la lectura de Genesis of a Music de Harry Partch , en el que profundiza en la historia de las afinaciones y las razones de las mismas. A partir de esto, deriva su escala de 43 tonos por octava de una escala justa de 11 límites, y luego habla sobre los instrumentos que tuvo que construir y adaptar para tocar música en esta escala, y las composiciones que hizo usándolos. , en detalle.

La escala de 43 tonos es un compromiso para producir un mejor compromiso, pero 43 teclas en cada octava definitivamente no son prácticas. Puedes encontrar algo de su música en YouTube, y recomiendo escucharla, especialmente con el libro en la mano. Recientemente encontré una interpretación de Delusion of the Fury que es muy buena y muy interesante.

Y casi lo olvido: The Harp of New Albion de Terry Riley usa un piano afinado en una escala cromática de 5 límites. Consulte http://www.ex-tempore.org/Volx1/hudson/hudson.htm para obtener más información.

Apoyaré la recomendación de leer Partch. Tal vez debería señalarse que la escala de 43 tonos de Partch no es un temperamento igual de 43 tonos, sino que consiste (si no recuerdo mal) en intervalos de 13 límites.
¡Gracias! Editaré esta respuesta para reflejar mejor tu comentario. (Fui y verifiqué: se detuvo en el límite de 11 pero habló de 13 en su libro).
Me temo que perdí mi copia de Génesis de una música . Me encantaría volver a leerlo. Partch era un tipo divertido pero tenía algunas ideas geniales.
Si buscas en Google "Génesis de un PDF de música", obtendrás resultados.

Uno de los mejores instrumentos microtonales puede ser la guitarra slide. Escuche a Duane Allman tocar la guitarra slide, o David Gilmour tocar lap steel, o muchos otros. No solo alcanzan los tonos entre las notas, sino que sospecho que también gravitan naturalmente hacia las notas templadas . Esa pureza es lo que hace que los guitarristas expertos en slide suenen tan bien.

La diferencia clave entre el slide y las guitarras de trastes múltiples antes mencionadas es que el slide es un proceso adaptativo que depende del jugador. Y el reproductor reproducirá naturalmente lo que suene "bien".

Por lo tanto, de manera más general, todos los instrumentos de tono continuo (violonchelo, violín, guitarra sin trastes, bajo...) no tienen problemas para abordar la entonación y el temperamento igual (?).

Si solo piensa en los instrumentos de frecuencia fija, la entonación no es buena para la construcción del instrumento, hay buenos ejemplos para la guitarra arriba. También habrá dificultades técnicas con un piano y otros instrumentos.

Pero para los instrumentos de tono de variación continua, la entonación justa tendrá un sonido más natural.

Hay un buen ejemplo de lo que sucede en las ondas de sonido en este video de YouTube.

Puede ver que la entonación justa es estable.

¿A qué te refieres con "estable"? Muchas progresiones de acordes se desviarán del tono cuando se toquen o canten en entonación justa, según los ajustes que se usen para lograr la entonación justa.

Me gustaría agregar a los comentarios de Cyco130. Uno no siempre puede combinar diferentes intervalos para obtener otro intervalo útil. Esto tiene implicaciones para afinar una guitarra de oído (sin usar los trastes). Uno comienza con la cuerda E y sube un cuarto a A dando una proporción de 4/3. De ahí sube otro cuarto a D dando 16/9 y así hasta G llegando a una proporción de 64/27. Ahora un intervalo diferente o una tercera mayor (5/4) hasta B, dando una ración de 320/108 (reducible a 80/27). Finalmente otra cuarta a la cuerda E alta dando un ratio de 320/81. Esta relación es muy cercana a 4/1, la relación para dos octavas.

Dos caminos musicalmente correctos hacia la "misma" nota no conducen a la misma nota. En el caso anterior, uno puede tener buenos intervalos para los acordes C, G y F, pero luego el acorde de re menor está desafinado. Sin embargo, los acordes IV y II se han tratado como similares durante siglos (técnicas 5-6).

Es un hecho matemático que esta ecuación:

1.5^n = 2^m

no tiene solución para enteros distintos de cero n y m. Por lo tanto, ninguna secuencia de quintas recién entonadas alcanzará una octava perfectamente, sin importar qué tan lejos vayas. Por lo tanto, no existe una escala de temperamento igual, no importa cuán finamente dividida, que resulte en que una de las notas sea una quinta perfecta y verdadera.

Esto, por supuesto, también es cierto para una secuencia de cualquier otro intervalo integral, no solo de quintos perfectos.
@ScottWallace en particular, con el propósito de entonación justa de 5 límites, de tercios mayores, tres de los cuales no equivalen a una octava, y uno de los cuales no equivale a cuatro quintos (es decir, tampoco hay soluciones a la ecuación 1.25^p = 1.5^n * 2^m) .
@phoog - de hecho. Como mencioné aquí antes, es culpa de Dios, o de las matemáticas (si hay alguna diferencia). Supongo que podemos considerarnos afortunados de que todavía sea posible hacer buena música, incluso teniendo en cuenta esta llave inglesa, la más básica de todas.

Decir que la entonación justa se basa en relaciones en la serie armónica es solo una forma glorificada de decir que la entonación justa se basa en proporciones de números naturales (porque la serie armónica son todos los números naturales hasta el infinito). El problema de la entonación justa es que casi toda la música implica el uso de más notas de las que se escriben explícitamente, mientras que la mayoría de los instrumentos modernos de tono fijo giran en torno al uso de solo 12 notas por octava. Debido a que estas notas adicionales implícitas están a solo 20-50 centavos de distancia entre sí, se implementó 12TET para que los intérpretes solo tuvieran que realizar un seguimiento de 12 tonos por octava promediando aproximadamente las notas adicionales que estaban bastante cerca entre sí. Las notas en entonación justa que están separadas por una pequeña distancia se anotan con la misma letra o se anotan como equivalentes enarmónicos cuando se usa 12TET, que es donde comienzan los conceptos erróneos y la confusión sobre la entonación justa. La verdad sobre por qué parece que la entonación "no cuadra" es que la notación occidental tiene la culpa. A menudo sucede que alguien organiza una demostración de cómo la entonación justa no funciona y luego asume la equivalencia enarmónica, que es algo que solo se puede asumir en temperamento igual, o no distingue pitagóricos. proporciones de proporciones de 5 límites (menos común).

Lo que pasa es que el uso de esas notas extra no siempre es deseable. Escuché la historia del coro que usa solo la entonación para terminar una canción y luego termina la canción con su tónica unos centavos lejos de donde comenzó. Ese es un ejemplo de una nota adicional no deseada. Termina usando notas que están separadas por 20-50 centavos (o incluso una coma) y las personas con oído absoluto serán las primeras en notarlo desfavorablemente... y los fans de American Idol serán los segundos.
Realmente no puedes culpar a la notación occidental si la gente usa la equivalencia enarmónica. Eso no está integrado en la notación. Was está integrado en él es la suposición de medio tono, es decir, que un ditono pitagórico es lo mismo que un tercio mayor ptolemaico. Expresar lo contrario requeriría símbolos adicionales como el + Ben Johnston escribe antes de la nota superior de un dítono pitagórico.
@leftaroundabout: eso básicamente significa que se supone que el jugador se apega a un sistema de afinación :-)
La equivalencia enarmónica se aplica a cualquier teclado de 12 tonos, independientemente del temperamento en uso. Si funciona depende del temperamento, por supuesto.

"¿Por qué la entonación justa no es práctica?"

La verdadera respuesta es: en realidad es la forma más práctica de afinar y generar las 12 claves antiguas de la música. Cuando un instrumento de 12 tonos está afinado correctamente en los 12 tonos justos correctos, tendrá 12 hermosas teclas para tocar que se basan en las leyes de los armónicos, y sí, puede modular fácilmente entre teclas. De hecho, esta afinación es la base real de la idea de "claves" de la música. Se ha "perdido" desde antes del Renacimiento. Por extraño que parezca, hace varios años lo recuperé. Cualquiera que pueda hacer operaciones matemáticas sencillas y escuchar ejemplos de los sonidos verá que tengo razón.

Para obtener un resumen conciso de esto con ejemplos de canciones tocadas en las 12 teclas antiguas, vaya a Unfretted dot com al Foro de otros instrumentos al hilo, 17 Tone Just Intonation Guitar y desplácese a mis publicaciones que comienzan el 17 de julio de 2018 (ignorar antes ).

Mi regalo para cualquiera que esté prestando atención. La mayor parte de lo que le han enseñado acerca de la entonación justa es ficción. Tom M. Culhane

pd Pregúntate a ti mismo, ¿de dónde viene la idea de tocar música en varios tonos? Ciertamente no de "afinación moderna". El temperamento igual no tiene claves de las que hablar, todos tienen la misma sensación, ya que las proporciones de una nota a la siguiente son idénticas. Se necesita variedad para tener las claves de la música. Otros sistemas de afinación tienen variedad, pero se basan en números ficticios. La entonación justa, por otro lado, se basa en matemáticas reales. Los números enteros son la base de la vibración en el mundo real. Por ejemplo, los armónicos que escuchas cuando tocas una cuerda de guitarra en ciertos puntos. Una de las fallas en las respuestas dadas aquí es la idea de expresar intervalos musicales en el sentido singular, como "el quinto". Un instrumento de 12 tonos correctamente afinado tendrá una variedad de quintas. De hecho, es esta irregularidad la que nos da las claves de la música. Pero necesitas los tonos correctos para que todo funcione. los he encontrado Estaban sentados justo debajo de las narices de todos.

Su edición se realiza desde una cuenta diferente a la que publicó la respuesta. Puede utilizar este formulario para intentar fusionar sus cuentas.
Mi publicación aquí que hice ayer ya recibió un voto desfavorable. Quiero enfatizar a los lectores que si están dispuestos a escuchar mis videos que mencioné anteriormente que se tocan en varias teclas de 12 tonos de entonación, verán que todas son teclas hermosas y jugables. A veces se necesita coraje para dejar de lado el dogma. Un afinador de pianos me dijo una vez que solo tendré un par de teclas tocables si afino mi piano con la entonación justa. Le demostré que estaba equivocado, le envié muestras de acordes en cada clave. No he sabido nada de él desde entonces. Saber que has estado afinando mal los pianos durante 30 años puede ser aterrador.
No di el voto negativo, pero puede tener menos que ver con la información y más con la referencia a un sitio externo. Por lo general, es mejor tener la información en la respuesta en caso de que el lugar al que nos está dirigiendo se caiga en el futuro.
¿Podría aclarar por qué, si se necesita irregularidad, todas las afinaciones barrocas no extraterrestres no la proporcionan? ¿Y cómo concilias tu afirmación de que "la irregularidad que nos da las claves de la música" con tu afirmación de que solo hay un conjunto de "los tonos correctos" que "hacen que todo funcione"?
Para Rosie F: Pulsar una cuerda hará que cante, pero tocar los puntos que dividen la cuerda en divisiones de números enteros (solo intervalos) hace que surjan otras notas de forma natural. Hay una ciencia sobre cómo vibra la naturaleza. En la afinación de 12 tonos, los 7 tonos puros son fundamentales para la afinación antigua real y original. Pero necesitas 5 números más. Aquí es donde todo el mundo se equivoca. La clave para recuperar esos 5 es pensar en términos de números enteros. Cuando veas el patrón y los golpees, ¡voilá! Todo encaja en su lugar como un rompecabezas de madera. Las llaves emergen.
Para Richard: La respuesta habría sido bastante larga de esa manera. En mi YouTube de Tom M Culhane tengo 18 videos, la mayoría en 12 tonos antiguos. Prueba Sarabande y Wild Rider para escucharlo en el piano (mi anciana madre toca en cámara lenta). Todas las cuerdas del piano resuenan juntas con esta afinación, por lo que el piano realmente cobra vida. El piano digital no se puede comparar, pero para escucharme tocar canciones simples en otras claves, prueba: Frosty, 42 Mood, Moon Castle, The Hour is Late, Walk Around the Fire. Lea las descripciones. Consulte también Diapasones extraíbles en el mismo foro mencionado anteriormente para obtener más información.
Por último: se sabe que el establecimiento envía spam a los foros para influir en los lectores. Así que mira las cosas directamente. Te he dado todo lo que necesitas para reproducir música afinada. Los afinadores de pianos le dirán que si afinan una tercera a pura (5:4), la mayoría de la gente pensará que es bemol, ya que las terceras ET son muy nítidas. Escuchar música afinada puede llevarle un poco de tiempo a su sistema para adaptarse, para desatascarse de la música borrosa que ha escuchado toda su vida. Cuanto más escuches las 12 claves antiguas, más te gustarán. Y puede esperar beneficios reales para su salud y su mente. Los mejores deseos. Tom M Culhane despidiéndose
Resumen: Una progresión de 2:1 octavas llega al número 128. Una progresión de 3:2 quintas ("círculo de quintas") llega a 129.746... ¿Cómo sincronizan las leyes de los armónicos números de diferentes números primos como este? Respuesta: variación de intervalos, también conocido como Las claves de la música. La afinación de entonación justa original que le he dado es una afinación de octava, los 12 tonos tienen una octava de 2:1. 7 de los 12 lanzamientos tienen un quinto de 3:2. 5 usa otras proporciones de números enteros para los quintos. Así es como todo encaja, todo en equilibrio.

La razón por la que un conjunto dado de tonos de entonación justa solo funciona para una sola tecla es que al elegir otra raíz (es decir, modular), las proporciones de los grados en la escala ya no son correctas. Por ejemplo, en una afinación JI basada en C, la frecuencia de D (2da mayor) es 9:8 de la raíz, mientras que E (3ra mayor) es 5:4. Tomando D como raíz, de repente la 2da mayor (ahora E) no es una proporción de 9:8 sino (5:4)/(9:8) = 10:9, por lo que la 2da mayor sale plana.

La elección de diferentes notas fundamentales produce afinaciones más o menos disonantes y, de hecho, algunos intervalos funcionan correctamente (por ejemplo, tomando la cuarta F perfecta, la nueva segunda mayor G está correctamente en una proporción de 9:8 desde la raíz), pero solo la raíz original funciona en relación con todos los tonos. Esto también se aplica a otros modos además del mayor: un instrumento afinado en entonación justa solo puede tocar correctamente un conjunto de modos. Esta situación se evita en temperamento igual porque los tonos son una progresión geométrica y las proporciones entre tonos dependen únicamente del número de pasos entre ellos.

También existe el problema de que los bemoles y los sostenidos no son enarmónicos: si definimos F# como el tono principal en G mayor y Gb como la cuarta perfecta en Db mayor, sus frecuencias no coinciden: "el círculo de quintas no se cierra". :

espiral de quintas.

(imagen cortesía de http://jjensen.org/spiral5ths/Spiral5ths.html )

Haciendo los cálculos obtienes F#:G = B:C = 243:128 = 1.898438 y Gb:Db = Db:Ab = Ab:Eb = Eb:Bb = Bb:F = F:C = C:G = 4:3 1 ; multiplicando todas las proporciones y dividiendo por la potencia más cercana de 2 obtienes Gb: G = 4.3 6/4 = 1.872885, por lo que no puedes tener verdaderas escalas Db major y G major usando los mismos 12 tonos cromáticos .

1 Esto es un poco engañoso; en entonación justa, el tono de cualquier nota, y su relación con cualquier otra, depende de la pregunta "¿en qué clave?", y la relación Gb:G no tiene sentido en ningún caso ya que ninguna tecla contiene esas dos notas. Aquí estamos hablando de las tonalidades mayores de G y Db que obtenemos al recorrer el círculo de quintas y comparar el Gb en Db mayor con el G en G mayor (y el F# en G mayor con el G en G mayor respectivamente ). El punto es que en cualquier tecla que contenga un tono llamado F#, el tono de ese tono es diferente de cualquier tono llamado Gb en cualquier otra tecla.

No es necesario ir a diferentes claves para encontrar intervalos que ya no funcionan; mirar un acorde diferente en la misma clave también puede tener el mismo resultado. El ejemplo clásico de una tonalidad mayor es el sexto grado de la escala, que debe ser bastante más bajo para servir como la tercera mayor justa de un acorde IV que donde debe estar para servir como la quinta de un acorde ii o V/V.
@phoog, tengo entendido que los acordes se construyen a partir de grados de la escala, no modulando los intervalos desde la raíz. Entonces, en JI, el acorde IV contendrá diferentes intervalos que el acorde I (como notó), pero aún sonará correcto en el contexto de la escala y la afinación. Si eso es incorrecto, indíqueme un recurso que discuta esto, ya que hay mucha confusión en esta área y es mejor ceñirse a las referencias confiables.
No conozco un recurso, pero unos minutos con una calculadora o una hoja de cálculo mostrarán que (suponiendo tonos fijos) si tiene un solo tercio en su afinación, tendrá un quinto inutilizable. Mirando solo las teclas blancas en Do mayor, podría aceptar una tercera pitagórica en el acorde F para salvar la quinta entre D y A, pero luego rompería la quinta entre A y E. Podría poner la E en una tercera pitagórica con C, pero entonces tienes una mala quinta entre E y B. Si elevas B, no tienes más tercios, por lo que te queda la afinación pitagórica.

No es ni fácil ni difícil de componer en JI, no es una parte significativa de la historia de la música occidental, especialmente en los últimos 600 años. JI se basa en lo fundamental. La música occidental en el desarrollo de la tonalidad se basa en conjuntos de relaciones jerárquicas donde el 'grado de escala' ^1 es más importante que ^5, y armónicamente, ^5 es más importante que ^2, etc. con ^2, ^6, ^3. El uso de JI para la armonía tonal, aunque interesante, no tiene una base histórica o acústica.

Esto es engañoso. Si bien la tendencia general en la música occidental ha sido hacia el desarrollo de afinaciones que se presten a la modulación y la igualdad de intervalos, esto ha sido para comprometer la base acústica, que es geométrica o simplemente. Y esta tendencia es bastante reciente: hasta hace unos quinientos años, no se sentía la necesidad de modular.
¿Por qué la entonación justa no es práctica?
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