Equivalencia de intervalos con octavas entre ellos

Digamos que tocamos C4 y G4 en el piano al mismo tiempo, detenemos las notas, luego tocamos D4 y A4 simultáneamente, entonces la calidad de este sonido es la misma que la calidad del primero.

Para entender por qué ese fue el caso, leí sobre la entonación justa y el temperamento igual.

Físicamente estamos generando ondas que viajan por el aire, así que para simplificar las cosas fui a un programa llamado desmos donde puedes simular ondas.

Allí construí una situación análoga al pretender primero que una nota que tiene una frecuencia igual a 2pi (el período predeterminado de una onda sinusoidal) era una nota en el sistema de temperamento igual.

Luego, para producir una nota que esté una quinta perfecta por encima de esa nota, debemos multiplicar la frecuencia original por 2^(7/12), esto equivale a subir siete semitonos, que es la definición de una quinta perfecta.

Luego, como el piano usa martillos que hacen vibrar las cuerdas y luego como las ondas de presión se suman en el aire antes de llegar a nuestros oídos, tomaré la suma de la onda sinusoidal original y la segunda onda sinusoidal que tiene una frecuencia que es 2^( 7/12) veces la frecuencia de las ondas originales, esto es lo que f1(x) + g1(x) representa en desmos.

A continuación para representar la misma situación, pero con ambos tonos elevados en dos semitonos realizo el mismo experimento pero con f1(2^(2/12)*x) + g1(2^(2/12)*x) (en desmos Hago dos nuevas funciones y le doy un desplazamiento para que puedas verlo más abajo). Visualmente podemos ver que la onda generada por esta suma es idéntica a la primera, pero con una escala en la dirección x.

Matemáticamente, podemos ver que la nueva ola solo tiene un período que es 1/(2^2/12) veces el período original. Debido a que el período es más corto, esto corresponde a una frecuencia y tono más altos, por lo que tocar estas dos notas juntas debería tener exactamente la misma calidad pero más alta.

Después de hacer esto, me preguntaba por qué al expresar acordes en el piano generalmente se nos permite mover las notas en octavas para que la voz sea más clara sin cambiar el acorde.

Para hacer esto, consideremos una situación similar a la primera que hicimos. Digamos que estamos tocando C4 y G4, luego, según lo que aprendí, tocar C4 y G5 también debería producir una onda con la misma calidad.

Experimentalmente estaríamos comparando la onda generada por f(x) + g(x), y luego f(x) + g(2x), ya que esto representa un desplazamiento de una octava hacia arriba.

Después de hacer eso, las ondas generadas por las dos sumas anteriores tenían cualidades totalmente diferentes:

diferentes calidades

¿Alguien puede explicar por qué C4 y G4 se jugaron simultáneamente y C4 se jugó con G5 y ambos deberían tener cualidades similares?

El término 'calidad' me preocupa. No es un término objetivo y podría estar sujeto a muchas connotaciones diferentes.
Correcto: en mi escritura, cuando hablo de calidad, me refiero a la forma de la onda producida. Dije que los dos últimos tenían cualidades diferentes porque no puedes escalarlos a lo largo del eje x para producir el otro. Solo estoy tratando de entender por qué podemos mover estos intervalos por octavas y seguir representando el mismo acorde.
Sería mejor si también pudieras ver al menos dos ciclos/períodos de la segunda ola.
@ElementsinSpace, sí, arreglé el error tipográfico. La segunda ola se puede ver con tantos ciclos como sea necesario siguiendo el enlace: desmos.com/calculator/werca8k9vm
@cuppajoeman ah, sí, debería haber hecho clic en los enlaces de la pregunta. gracias
Pregunta posiblemente relacionada: music.stackexchange.com/questions/44783/…

Respuestas (3)

Creo que su confusión proviene del hecho de que está generando ondas sinusoidales para comparar.

Las ondas sinusoidales son excelentes para comprender la interferencia constructiva y destructiva, pero están muy lejos de lo que genera un piano.

En cualquier instrumento del "mundo real", la onda de sonido producida se compone tanto del tono fundamental como de todos los sobretonos. Es la variación de la distribución de armónicos (la intensidad relativa de cada armónico en relación con el fundamental) lo que crea el timbre.

Cuando tocas C4 en el piano, el piano produce una mezcla de C4, C5, G5, C6, E6, G6, Bb6, C8... los tonos producidos no coinciden exactamente con la afinación 12TET que usamos, así que los armónicos de E6 en adelante están "desafinados" un poco, pero los armónicos también se debilitan a medida que suben.

Dado que la onda real para C4 incluye C5 y G5, los componentes de la onda se alinearán muy bien con D4 y A4; solo se diferenciarán por la intensidad de su distribución. En otras palabras, los picos y valles estarán exactamente en las mismas posiciones relativas, pero las amplitudes variarán un poco.

EDITAR: algunas ilustraciones pueden ayudar. Aquí hay una quinta perfecta con solo los fundamentos .

Aquí hay un instrumento del "mundo real" con una fundamental y tres armónicos . Cada sobretono es el 50% de la intensidad del anterior.

Y aquí está ese instrumento del "mundo real" yuxtapuesto con un fundamental un 12 más alto , el quinto en la siguiente octava, sin sobretonos.

Todos estos son aún más simples que lo que sucede con los instrumentos reales, pero puede ver cómo coinciden los picos y los valles.

Ahh, esto realmente ayuda, acabo de hacer un nuevo experimento desmos en el que puedes comparar la suma de los dos con sobretonos y sin ellos. La configuración es la suma de una nota y una nota k semitonos más alta. El rojo es solo los fundamentos, el negro con .5 de opacidad tiene 3 matices. Naranja es la suma de una nota y una nota k + 12 semitonos más alta con los mismos 3 armónicos. Los superpuse uno encima del otro, y puedes ver que coinciden bastante decentemente. ( desmos.com/calculator/qqrpbgdmi1 - cambie k para ver diferentes ondas).
Sin embargo, después de todo eso, todavía tengo una pregunta, ¿significaría esto que si tuviera algún tipo de teclado que solo produjera ondas sinusoidales puras y lo escuchara a través de auriculares tocando una quinta perfecta y luego tocando una quinta perfecta con un extra? octava entre ellos que las ondas se verían como la imagen en la parte inferior de mi primera publicación, y luego, dado que no hay sobretonos, ¿no tendría las características de la quinta perfecta? ¿Significaría eso que los instrumentos electrónicos han agregado armónicos sintéticamente para que suene bien?
Puede configurar generadores de tonos para producir ondas sinusoidales puras. Pero la mayoría de los instrumentos electrónicos, de hecho, agregan sobretonos, porque las ondas sinusoidales puras no son muy útiles para hacer música. La yuxtaposición de dos ondas sinusoidales debería parecerse a su imagen. Lo que parecería es una lata de gusanos diferente, porque estaríamos acercándonos a la psicoacústica.
Veo. Finalmente, en una guitarra eléctrica, ¿cómo se incluyen los fundamentos allí? Sé que la señal es un análogo de la vibración de la cuerda, pero pensé que los armónicos provienen del cuerpo del instrumento vibrando, ¿los armónicos también son creados por las propias cuerdas?
esta respuesta implica que la respuesta a la pregunta de OP, "¿por qué cuando expresamos acordes en el piano, generalmente se nos permite mover las notas en octavas para que la voz sea más clara sin cambiar realmente el acorde", es que estas voces sueltas son una consecuencia de la armónicos de instrumentos del mundo real y no funcionan con ondas sinusoidales puras. esta implicación es completamente falsa.
@cuppajoeman: los armónicos provienen de la cuerda. Una cuerda que vibra tiene la "onda" de la vibración que se mueve en ambas direcciones desde el punto donde se puntea, y después de reflejarse en la cejuela/silleta interfiere consigo misma. Eso es un poco de simplificación, pero los armónicos no son producidos por el cuerpo.
@Esther: estás leyendo algo en esto que no está allí. El OP no preguntó sobre las voces de acordes de piano, y no las abordé. La pregunta es sobre acústica, y específicamente sobre por qué un 12 y un 5 interactúan de manera diferente. La respuesta es que es cierto para las ondas sinusoidales, pero mucho menos para cualquier instrumento, porque también producen sobretonos.
Cité directamente la parte relevante de la pregunta.
@Esther: si hizo clic en el enlace en su oración "Consideremos una situación similar", vería que la pregunta que se hizo, que siguió a esa declaración, es sobre la interacción de ondas sinusoidales puras en 12TET, no sobre piano voicings. Abordé la pregunta que realmente hizo en lugar de lo que percibiste como la parte relevante.

La idea de que puedes tocar una nota en una octava diferente, y básicamente será la misma nota y no cambiará la armonía, se llama " equivalencia de octava ". Tenga en cuenta que no se llama "igualdad de octava". Cuando la gente dice que puede cambiar la sonoridad de un acorde moviendo las notas hacia arriba o hacia abajo en una octava, no están afirmando que obtendrá exactamente el mismo sonido, solo que la armonía básica no cambiará. (E incluso entonces, si cambia qué nota es la nota baja o la nota superior, es decir, si la sonoridad de acorde diferente es una inversión de acorde diferente, es muy posible que cambie su percepción de la armonía).

No creo que la elección de la terminología de "equivalencia de octava" sea tan importante. (Después de todo, ¿la igualdad es una relación de equivalencia?)
@Edward, tal vez la redacción no se eligió con tanto cuidado cuando se inventó el término, pero tiene sentido. La igualdad no es simplemente una relación de equivalencia, es la relación de equivalencia que rige todas las relaciones de equivalencia. (a=b ⇒ a~b). Pero la mayoría de las equivalencias son más bien relaciones de "rasgo compartido", y este es el caso de la equivalencia de octava.

La respuesta sobre la equivalencia de octava es esencialmente correcta, pero para llevar esa respuesta un paso más allá: la forma en que percibimos las notas es extraña y no refleja con precisión la "realidad física subyacente" de las ondas de sonido (por ejemplo, los timbales están afinados pero los kits de batería no lo están). 't, a pesar de que los timbales claramente tienen una frecuencia fundamental como un timbal; y de hecho, a veces escuchamos juegos de batería como afinados , solo cuando el contexto nos anima a hacerlo); y la teoría musical trabaja con un conjunto de categorizaciones arbitrarias además de esta percepción subjetiva. Es decir, los diagramas de ondas no proporcionarán una visión real de las cuestiones sobre la equivalencia de intervalos.

La respuesta más "científica" que obtendrá a "por qué es un 12 perfecto, armónicamente, lo mismo que un 5 perfecto" es "equivalencia de octava"; pero el empirismo lucha aquí porque:
(a) nuestro concepto de "igualdad" aquí se define arbitrariamente, son "lo mismo" porque, no sé, no parece afectar el disfrute de la música de las personas cuando los tratamos como si fueran iguales , y
(b) "quinta perfecta" puede referirse a una variedad de intervalos mucho más amplia de lo que cabría esperar, no existe una definición matemática precisa de "quinta perfecta" que cubra la amplia variedad de sonidos que se consideran "quintas perfectas" en la realidad. -música del mundo.

Las ondas se verían casi iguales si usamos quintas perfectas en una proporción pitagórica "perfecta" de 3: 2 en lugar de la proporción 12TET en el OP, ¿verdad? No creo que su afirmación de que "no existe una definición matemática precisa de 'quinta perfecta' que realmente cubra la amplia variedad de sonidos considerados como 'quintas perfectas' en la música del mundo real" realmente importe aquí.
@Dekkadeci Sí, pero creo que OP tiene razón al usar las proporciones que realmente tocamos en la música en lugar de alguna aproximación que sea históricamente relevante. Es decir, suponiendo que realmente estén preguntando sobre música, una posición sorprendentemente controvertida a juzgar por la popularidad de la respuesta principal.
Al menos si los cuartetos de barbería son una indicación (aquellos que usan solo entonación para esos famosos acordes de barbería en séptima), sospecho firmemente que cantamos proporciones de 3:2 para quintas perfectas, y es la proporción de 12TET la aproximación.
@Dekkadeci El punto es que OP notó que en una gran cantidad de música del mundo real (seguro, no toda, el cuarteto de barbería y el cuarteto de cuerdas son excepciones notables), las ondas de sonido que corresponden a un 12 perfecto se verán muy diferentes a las ondas sonoras que corresponden a una quinta perfecta. Su pregunta, por lo que puedo decir, es por qué los escuchamos como equivalentes a pesar de esta discrepancia. El hecho de que los intervalos no puedan reducirse a una sola forma de onda definitiva/canónica parece relevante en este contexto.
Equivalencia de intervalos con octavas entre ellos
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