¿Por qué la energía ganada/el trabajo realizado en el objeto depende de su energía/impulso inicial? Diferencia entre fuerzas que actúan simultáneamente y por separado

Question

¿Por qué la energía ganada/el trabajo realizado en el objeto depende de su energía/impulso inicial? Diferencia entre fuerzas que actúan simultáneamente y por separado

Aprendiz eterno

Supongamos que un objeto parte del reposo y alcanza una velocidad $v_1$ .Su energía cinética (y también el cambio en la energía cinética) es $(1/2) mv_1^2$ .
Ahora suponga que el objeto comienza con velocidad $v_0$ y alcanza una velocidad extra de $v_1$ . Aquí, el cambio en la energía cinética es $(1/2)m((v_0 + v_1 )^2 - v_0 ^2)$ y no $(1/2) mv_1^2$ .

Sin embargo, el cambio de impulso en ambos casos es igual. ¿Por qué el cambio de energía depende de la energía/velocidad/cantidad inicial que tenía? Matemáticamente, entiendo que:

la energía cinética es proporcional a $v^2$ y por tanto no podemos calcular el cambio de energía como $(1/2)m(\Delta v)^2$
El trabajo realizado es fuerza por desplazamiento y si el objeto comienza a una velocidad mayor, su desplazamiento durante la aplicación de la fuerza será mayor, por lo tanto, las matemáticas nos dan un "trabajo realizado" mayor.

Pero quiero entender el significado físico. ¿Por qué el mismo cambio de cantidad de movimiento no significa el mismo cambio de energía? ¿Por qué el trabajo realizado depende del desplazamiento del objeto que no fue causado enteramente por la fuerza sino que se debió a la velocidad que tenía inicialmente?
(editar: desplazamiento adicional de $v_0\Delta t$ , debido no a la fuerza F sino a la velocidad inicial $v_0$ ya tenía , en otras palabras, la fuerza que se supone que está haciendo trabajo no es la causa de todo el desplazamiento, ¡y sin embargo la multiplicamos por todo el desplazamiento 's'! ¿No sería más lógico que el desplazamiento se limitara al provocado únicamente por la fuerza? ¡y esto me hace cuestionar la definición de F.ds para el trabajo realizado!)

Otra pregunta que me gustaría hacer (una pregunta relacionada, o tal vez conceptualmente la misma duda simplemente reformulada):

decir una fuerza de $F_1$ puede causar un desplazamiento de un objeto hacia la derecha. Una fuerza $F_2$ es capaz de causar un movimiento hacia la izquierda (considere fuerzas constantes por simplicidad).
Si aplico las fuerzas por separado, digamos que los desplazamientos son $d_1$ y $d_2$ (considere las fuerzas aplicadas durante el mismo intervalo de tiempo $\Delta t$ ).
Si los aplico simultáneamente, sea el desplazamiento $d_3 < d_1$ y $d_2$

Trabajo realizado por $F_1$ en caso de que 1 sea $F_1.d_1$
Trabajo realizado por $F_1$ en el caso 2 es $F_1.d_3$ < $F_1.d_1$
Trabajo neto realizado sobre el objeto = $(F_1 - F_2).d_3$ y no $F_1.d_1$ - $F_2.d_2$

No estoy siendo capaz de digerir esto, y siento que hay una pérdida de algo en alguna parte... ¿por qué el trabajo es realizado por $F_1$ menor en el segundo caso sólo por la existencia de otra fuerza? ¿No debería ser independiente? ¿Adónde fue esa diferencia en trabajo realizado/energía?

Para ser más explícito, supongamos $F_1$ actúa durante un intervalo de tiempo de $\Delta t$ y luego después de su trabajo $F_2$ actúa durante el mismo intervalo de tiempo $\Delta t$ . El cambio de impulso sería $F_1 \Delta t -F_2 \Delta t = (F_1-F_2) \Delta t$ - lo mismo que sucedería si ambas fuerzas actuaran simultáneamente durante el intervalo $\Delta t$ . Sin embargo, el trabajo realizado (por cada una de las fuerzas, e incluso el trabajo neto sobre el objeto) y, por tanto, el cambio de energía será diferente.

¿Porque? ¿Qué le está pasando a esa diferencia de energía en los dos casos... -las mismas fuerzas, el mismo cambio en la cantidad de movimiento, solo una pequeña diferencia en el experimento en términos de cuándo se aplican las fuerzas...

(Me gustaría obtener una explicación de la interpretación física, porque las matemáticas ya se han resuelto y el problema es interpretarlas)

Aprendiz eterno

En el lenguaje del hombre común, puedo decir que observo que una fuerza opuesta es más efectiva para disminuir la energía de un objeto si evita que la fuerza contra la cual actúa aumente la energía del objeto en lugar de permitir el aumento y luego tratar de disminuirla. !

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¿Por qué la energía ganada/el trabajo realizado en el objeto depende de su energía/impulso inicial? Diferencia entre fuerzas que actúan simultáneamente y por separado

En el lenguaje del hombre común, puedo decir que observo que una fuerza opuesta es más efectiva para disminuir la energía de un objeto si evita que la fuerza contra la cual actúa aumente la energía del objeto en lugar de permitir el aumento y luego tratar de disminuirla. !

Marko Gulin · Answer 1

TL; DR Me parece que está tratando de encontrar algo más fundamental para derivar definiciones de trabajo e impulso. No hay nada más fundamental que la segunda ley de movimiento de Newton que relaciona directamente la fuerza y el momento (o cantidad de movimiento como lo llama Newton)

\vec{F} = \frac{d \vec{pag}}{d t} = \frac{d}{d t} metro \vec{v}

$\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} m \vec{v}$

Isaac Newton dedujo la ecuación anterior (ley) a partir de una serie de observaciones (resultados experimentales) disponibles para él en ese momento. Muchos científicos han demostrado que es cierto después de que Newton hizo aún más experimentos. Si está interesado en discusiones como esta, entonces definitivamente le recomendaría tener en sus manos "The Feynman Lectures on Physics" . El libro (en 3 volúmenes) brinda contexto para muchos principios que a menudo damos por sentado, como lo que realmente significa energía. En resumen, ¡es solo una abstracción que ha demostrado ser útil! ( Ver 4-1 ¿Qué es la energía? en el Vol. 1 )

Aquí hay un artículo interesante sobre la historia de las definiciones de impulso ( vis mortua , fuerza muerta) y energía cinética ( vis viva , fuerza viva): "D'Alembert and the Vis Viva Controversy" de C. Iltis.

El extracto sobre la energía cinética:

Boscovich sugirió que, si se reemplaza la coordenada de tiempo por el espacio atravesado y la coordenada de presión por la fuerza que en cualquier instante produce la velocidad proporcional a ella, se representa un segundo aspecto del fenómeno. Boscovich, sin embargo, no explicó ni esta sustitución ni la introducción del concepto de fuerza. El nuevo término 'fuerza' debe interpretarse como una entidad proporcional a la velocidad engendrada en cualquier instante. Si la coordenada de presión se cambia a la fuerza y la coordenada de tiempo al espacio, entonces la nueva imagen geométrica que produce la velocidad se representaría en notación moderna como $\int F ds$ . Entonces interpretaríamos vis viva como $\int m v dv = \int F ds$ (dónde $ds = v dt$ ). Boscovich no incluye la masa en este análisis.

¿Por qué el mismo cambio de cantidad de movimiento no significa el mismo cambio de energía?

Simplemente porque la cantidad de movimiento y la energía cinética no se definen de la misma manera: (i) el cambio de cantidad de movimiento se define como fuerza a lo largo del tiempo $\Delta p = F \cdot \Delta t$ ( teorema impulso-cantidad de movimiento ), mientras que (ii) el cambio de energía cinética se define como fuerza sobre el desplazamiento ( teorema trabajo-energía ) $\Delta K = F \cdot \Delta s$ .

En tu ejemplo, para la misma aceleración $a$ (es decir, fuerza $F$ ) se necesita la misma cantidad de tiempo para acelerar desde $0$ a $v_1$ o de $v_0$ a $v_0+v_1$

\begin{aligned} v_{1} & = 0 + a Δ t \\ v_{1} + v_{0} & = v_{0} + a Δ t \end{aligned}

$\begin{aligned} v_1 &= 0 + a \Delta t \\ v_1 + v_0 &= v_0 + a \Delta t \end{aligned}$

Sin embargo, el desplazamiento en este último caso es mayor por $v_0 \Delta t$

\begin{aligned} Δ s & = \frac{1}{2} a (Δ t)^{2} + 0 Δ t \\ Δ s & = \frac{1}{2} a (Δ t)^{2} + v_{0} Δ t \end{aligned}

$\begin{aligned} \Delta s &= \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 + 0 \Delta t \\ \Delta s &= \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 + v_0 \Delta t \end{aligned}$

Por la misma fuerza $F$ (es decir, aceleración $a$ ), $\Delta t$ es el mismo en dos casos, lo que significa que el cambio de cantidad de movimiento también será el mismo, pero el desplazamiento $\Delta s$ es mayor por $v_0 \Delta t$ en el segundo caso lo que significa que se necesita más trabajo para alcanzar la velocidad $v_1$ .

¿Porque? ¿Qué le está pasando a esa diferencia de energía en los dos casos... -las mismas fuerzas, el mismo cambio en la cantidad de movimiento, solo una pequeña diferencia en el experimento en términos de cuándo se aplican las fuerzas...

En su segunda pregunta, está tratando de integrar la fuerza a lo largo del tiempo, que es la definición del impulso. $J$ y no por el trabajo $W$ . Si aún desea obtener el trabajo mediante la integración a lo largo del tiempo, debe hacer lo siguiente:

W = \int F \cdot d s = \int F \frac{d s}{d t} d t = \int F v \cdot d t

$W = \int F \cdot ds = \int F \frac{ds}{dt} dt = \int F v \cdot dt$

En otras palabras, deberías integrar $F v$ con el tiempo en lugar de $F$ . Es por eso que importa cuál es la velocidad del objeto cuando aplicas fuerza $F_1$ y $F_2$ en tu segundo ejemplo.

Pero es porque el Trabajo se define de esa manera. Pero ahora esta definición de trabajo no tiene sentido para mí porque el desplazamiento adicional $v_0\Delta t$ , como habia comentado en la pregunta se debe a la velocidad ya existente y no a la fuerza ejercida despues, la fuerza no la provoco. Así que supongo que termino cuestionando la validez misma (y el significado y la interpretación) de la definición de trabajo.
¿Cómo se derivó el trabajo para ser F.ds? Si se definió así, tiene que hacerse de una manera que iguale el cambio de energía, y quizás muchos otros factores para que sea significativo.
@EternalLearner ¿Cuál es el verdadero significado de la energía? Antes de responder a esa pregunta, ¿cuál es el verdadero significado de la fuerza? Estos son solo conceptos abstractos en torno a los cuales estamos construyendo nuestros modelos del mundo real. No sé de nada más fundamental para derivar $W = \int F ds$ de. Tenga en cuenta que el teorema del trabajo-energía $\Delta K = W$ se deriva directamente de la segunda ley de movimiento de Newton . Recomendaría leer "The Feynman Lectures on Physics" Vol. 1 - tiene discusiones en la línea de lo que estás preguntando.
Seguro, gracias. Pondré mis manos en el libro. Creo que su respuesta me ha guiado por el camino correcto para obtener la respuesta completa.
@EternalLearner Me alegro de que haya ayudado. Gracias por aceptar la respuesta ;-)

Claudio Saspinski · Answer 2

La fuerza neta, medida por una celda de carga, resulta ser proporcional a la derivada del momento:

F = \frac{d pag}{d t}

$\mathbf F = \frac{\mathbf{dp}}{dt}$ Es un resultado experimental.

Haciendo un producto escalar en ambos lados con un desplazamiento infinitesimal $\mathbf{dr}$ :

F . d r = \frac{d pag}{d t} . d r = metro \frac{d v}{d t} . d r = metro d v . \frac{d r}{d t} = metro v . d v = metro d (\frac{1}{2} v . v)

$\mathbf {F.dr} = \frac{\mathbf{dp}}{dt}\mathbf {.dr} = m\frac{\mathbf{dv}}{dt}\mathbf {.dr} = m\mathbf{dv.}\frac{\mathbf{dr}}{dt} = m\mathbf{v.dv} = md\left(\frac{1}{2}\mathbf{v.v}\right)$

Eso implica:

d w = F . d r = d (\frac{1}{2} metro | v |^{2})

$dw = \mathbf {F.dr} = d\left(\frac{1}{2}m|v|^2\right)$

Entonces, "trabajo" y "energía cinética" son nombres de cantidades definidas matemáticamente. Si bien estamos tratando con el movimiento puro de los objetos, no hay nada más que eso.

La intuición detrás es la extensión del daño que un objeto puede causar en una colisión. Es (experimentalmente) proporcional a la energía cinética, y no al impulso. Y cuando hablamos de colisión, eso significa con algo en reposo en el marco donde se miden las velocidades.

De esa forma, la misma fuerza que cambia el momento en cierta cantidad puede aumentar la capacidad de daño de manera diferente, dependiendo de la velocidad inicial del objeto.

Quiere decir 'tasa de cambio de impulso' en su primera línea, ¿verdad? Una edición tal vez podría evitar que otros lectores se confundan...
La información sobre las observaciones experimentales es útil, gracias.

TazónDeRojo · Answer 3

¿Qué le está pasando a esa diferencia de energía en los dos casos... -las mismas fuerzas, el mismo cambio en la cantidad de movimiento, solo una pequeña diferencia en el experimento en términos de cuándo se aplican las fuerzas...

Pruebe con un ejemplo práctico. Ve a buscar uno de esos tiovivos de empuje en un patio de recreo.

Piense en empujarlo con una fuerza de 10N. Desde el resto, eso será fácil. Si te pido que apliques esa fuerza constantemente durante un segundo completo, eso también será fácil.

Ahora, pon en marcha el tiovivo bastante rápido. Si le pido que "simplemente" aplique esa misma fuerza de 10N, lo encontrará difícil o imposible. La energía requerida para hacerlo es mucho mayor. Además, incluso si logras hacerlo, no podrás mantenerlo durante todo el segundo.

A una velocidad relativa alta, simplemente se vuelve más difícil transferir la energía.

Puedo estar de acuerdo con este ejemplo porque, para aplicar fuerza, tendré que correr detrás del objeto que ya se está moviendo. Eso es porque, es una fuerza de contacto y yo, un ser vivo, obviamente encontraré difícil correr más rápido. Todo se debe a que es una fuerza de contacto. Sin embargo, ¿qué pasa si considero un objeto puntual cargado en un campo eléctrico uniforme?
Los campos eléctricos no aparecen espontáneamente como una existencia independiente del marco. Así como la energía de la luz cambia con el corrimiento al rojo, la fuerza total sobre la partícula cambia a medida que cambia la velocidad relativa.

Feynman · Answer 4

Es una respuesta realmente corta e imaginaria, pero creo que podría ayudar. Imagina que estás acelerando a través del espacio-tiempo. Tu velocidad y energía cinética están aumentando. Debido a la energía y la masa, estás haciendo curvas en el espacio-tiempo. A diferencia de su impulso, las curvas del espacio-tiempo aumentan exponencialmente. Entonces significa que necesitas más energía para obtener la misma fuerza.

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