¿Existe una derivación matemática de la energía potencial que *no* esté arraigada en la conservación de la energía?

No hay necesidad de ninguna evidencia empírica. Esto es matemática pura.

Paso 1:

Suponga que una fuerza es conservativa. Esto significa que${\vec \nabla} \times {\vec F} =0$

Paso 2:

Entonces, por el teorema de Green, sabes que la cantidad$\int_{a}^{b}{\vec F}\cdot d{\vec s}$no depende del camino que tomes de a a b. (equivalentemente, esta integral es cero si el camino corresponde a un circuito cerrado)

Paso 3:

Entonces, dado que el valor de esa integral es independiente del camino, entonces puedes decir que el valor de$\int_{a}^{b}{\vec F}\cdot d{\vec s}$depende SOLO de los puntos a y b, y por lo tanto, podemos conceptualizar un campo que toma valores$V(a)$y$V(b)$y eso satisface$\Delta V_{a\rightarrow b} = -\int_{a}^{b}{\vec F}\cdot d{\vec s}$

Etapa 4:

Dado que (suponemos$\vec F$es la única fuerza en el universo aquí),${\vec F} = m{\vec a}$, tenemos (perdonen mi abuso de diferenciales moviendo el dt, es más rápido que el resultado más riguroso usando la regla de la cadena):

Paso 5:

Así, juntando los pasos 3 y 4, encontramos que

o, como se escribe más comúnmente

Por lo tanto, no se necesitan suposiciones reales ni observaciones empíricas. Todo es cálculo y comienza con una fuerza que es conservativa (la fuerza gravitatoria que cita SÍ satisface${\vec \nabla} \times {\vec F} = 0$, que puede comprobar). Tenga en cuenta que este método le permite derivar la energía potencial para CUALQUIER fuerza conservativa sin apelar a la conservación de la energía; ¡realmente DEMUESTRA esta última sin asumirla!

¿Tiene algún problema con que la fuerza sea la derivada de la energía potencial (hasta un signo menos)? Porque entonces verificas experimentalmente (gravedad por ejemplo) que$F=-GmM/r^2$y ahora$U=\int\frac{dU}{dr}dr=-\int Fdr = GmM\int \frac{dr}{r^2}=-GmM/r$(hasta una constante).

Ahora, por supuesto, las fuerzas conservativas y la energía están vinculadas a esto, pero no hay un razonamiento circular. (Sin embargo, es posible que haya pasado por alto su preocupación).

La definición de energía potencial de una fuerza conservativa no se basa en la conservación de la energía. Por ejemplo, la energía mecánica de un sistema podría reducirse debido, por ejemplo, a la fricción, pero la noción de energía potencial aún podría estar bien definida.

En general, la diferencia$V(B) - V(A)$en energía potencial (asociada con alguna fuerza conservativa${\bf F}$) entre posiciones$A$y$B$, se define como menos el trabajo $W=\int_{A}^{B} {\bf F}\cdot d{\bf r}$hecho por la fuerza para obtener de$A$a$B$por cualquier camino.

La definición correcta de cambio en la energía potencial es lo opuesto al trabajo realizado por las fuerzas internas de un sistema . Los autores de libros de texto descuidados omiten la parte de tener que elegir primero un sistema. En su forma más general, el trabajo es la integral de línea de una fuerza a lo largo de una trayectoria. Por lo tanto, el cambio en la energía potencial y la energía potencial en sí misma también es una integral.

Aunque aquí se dieron varias respuestas correctas, intentaré dar una respuesta alternativa que use sus ecuaciones.

La ecuación de movimiento, obtenida ya sea por métodos estándar hamiltonianos o lagrangianos, para un cuerpo con energía cinética dada por su expresión (2) es

Comparando con su ecuación de movimiento "dada experimentalmente" (1) obtenemos

Por integración directa

La constante de integración$V_0$se puede obtener a partir de las condiciones de contorno: la energía potencial es cero para cuerpos infinitamente separados$r\rightarrow \infty$. Esto da$V_0=0$