Esto podría ser más una pregunta de matemáticas aplicadas. ¿Por qué la energía de un sistema típicamente se puede describir usando expresiones cuadráticas? ¿Hay una mecánica subyacente que impulsa esto?
Para la mayoría de los sistemas, si está operando cerca del equilibrio, se encuentra en un punto donde la fuerza neta es cero. Eso significa que para pequeños desplazamientos, habrá una pequeña fuerza proporcional al desplazamiento que restaura el sistema a su posición de equilibrio (expansión de Taylor: para pequeños desplazamientos, solo importan los efectos de primer orden).
Y si la fuerza es lineal con el desplazamiento, entonces la energía (la integral de la fuerza por el desplazamiento) va con el desplazamiento al cuadrado.
De ello se deduce que para sistemas cercanos al equilibrio, el pozo de potencial tiene una forma cuadrática (y el sistema se comporta como un oscilador armónico simple).
Nota: dije "la mayoría de los sistemas". Lo anterior no siempre es cierto, como se señaló en el comentario de Fernando Randisi. En algunos sistemas puede que no haya un componente lineal de la fuerza y el primer coeficiente puede ser cúbico. Tales cosas ocurren en ciertos cristales no lineales. No es la norma para la mayoría de los sistemas mecánicos.
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