Energía total de un oscilador armónico subamortiguado

Estoy tratando de encontrar la energía total de un oscilador armónico subamortiguado, donde$\gamma << \omega_0$, cuyo desplazamiento en función del tiempo es:

$$y(t)=y_0e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos{(\omega_0 t+\alpha)}.$$

Entonces la energía total es la suma de la cinética y la potencial,$\text{E}=\frac{1}{2}m\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 +\frac{1}{2}ky^2$

Esto da lo siguiente:

$$\text{E}=\frac{1}{2}my_0^2e^{-\gamma t}\left[\frac{\gamma^2}{4}\cos^2(\omega_0 t+\alpha)+\gamma\omega_0\cos(\omega_0 t+\alpha)\sin(\omega_0 t+\alpha)+\omega_0^2\sin^2(\omega_0 t+\alpha)\right] + \frac{1}{2}ky_0^2e^{-\gamma t}\cos^2(\omega_0 t+\alpha).$$

La respuesta a la que estoy tratando de llegar es$\text{E}=\frac{1}{2}ky_0^2e^{-\gamma t}$, que es simplemente la suma de los dos últimos términos, usando el hecho de que$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$. Me preguntaba qué sucede con los dos primeros términos. No se cancelan entre sí (que yo sepa), y aunque puedo usar$\gamma <<\omega_0$para deshacerme del primer término, no puedo para el segundo (no creo).