¿La solución que generalmente se enseña para el movimiento armónico forzado es solo una solución especial?

Digamos que tenemos una masa en un resorte impulsada por una función forzada. Dada la ley de Hook,$F = -kx$, y una función forzada de

$$F(t) = F_0\sin(\omega t) .$$ Podemos escribir:

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx + F_0\sin(\omega t)$$

Todos los recursos de física con los que me he encontrado asumen que el movimiento del resorte sigue a la fuerza aplicada y presentan la solución como alguna forma de:

$$x = C\sin(\omega t)$$

Por lo general, luego sustituyen x en la ecuación diferencial y obtienen:

$$C = \frac{F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}$$

Esta es una fórmula genial. Realmente quería entender, por qué, si$\omega>\omega_0$,$C$se vuelve negativa y nuestro movimiento está exactamente fuera de fase con nuestra fuerza. Esto no es intuitivo para mí y, en un esfuerzo por comprenderlo mejor, decidí realizar un análisis numérico.

Comencé mi masa inicialmente en reposo en la posición cero y, para mi horror, mi análisis numérico arrojó estos resultados:

¡Claramente el movimiento de la masa no puede ser descrito por un solo seno! ¿Que está pasando aqui? Después de tirarme un poco de los pelos, me di cuenta de que mi análisis numérico era correcto y que lo que faltaba era la solución analítica. La solución completa a nuestra ecuación de movimiento es:

$$x(t) = A\sin(\omega_0 t) + B\cos(\omega_0 t) + \frac{F_0 \sin(\omega t)}{m(\omega_0^2-\omega^2)}$$

Y cuando establecemos las condiciones iniciales correctamente, ¡esta solución analítica concuerda con la solución numérica! Nuestra solución anterior es un caso especial de esta solución, pero las condiciones iniciales deben establecerse en valores muy específicos para que esto suceda.

Así que mi pregunta es: ¿qué diablos está pasando aquí? ¿Esta solución no es importante o no es relevante? Me parece que a menos que las condiciones iniciales sean exactamente correctas, ni siquiera verá el comportamiento que se muestra en la mayoría de los recursos de física. En aplicaciones reales, ¿la solución que se enseña normalmente simplemente no sucede o me estoy perdiendo algo?