Ejemplo donde el hamiltoniano H≠T+V=EH≠T+V=EH \neq T+V=E, pero se conserva E=T+VE=T+VE=T+V

Podemos construir un sistema con hamiltoniano no$T+V$pero la energía aún se conserva de cualquier sistema donde la energía se conserva al hacer que la descripción del espacio de fase sea generalmente covariente :

A partir de un hamiltoniano sin restricciones$H_0(p,q)$con acción hamiltoniana

$$S_0 = \int \left(p_i \frac{\mathrm{d}q^i}{\mathrm{d}t} - H_0(p,q)\right)\mathrm{d}t$$ podemos convertirlo en un sistema restringido haciendo$q^0 = t$una variable de espacio de fase con la restricción$p_0 = -H_0$con acción $$S_\text{cov} = \int \left(p_0 \dot{q}^0 + p_i \dot{q}^i - u^0 (p_0 + H_0)\right)\mathrm{d}\tau$$ dónde$u^0$es un multiplicador de Lagrange que impone la restricción y el punto es la derivada con respecto a$\tau$. La equivalencia de las dos acciones se puede ver obteniendo el eom para$S_\text{cov}$y enchufando.

Inspeccionando la acción$S_\text{cov}$, ¡vemos además que tiene cero hamiltoniano! Todo lo que hay ahí son los pares canónicos.$p_i \dot{q}^i$y una restricción. ¹ Entonces, el hamiltoniano de la descripción covariante ciertamente no es$T+V$! Sin embargo, si el sistema con el que comenzamos tuviera conservación de energía en el sentido de$T+V$, entonces también lo hará el sistema covariante, ya que ambos son equivalentes.

Lo anterior destaca un punto importante: si bien el hamiltoniano a menudo se denomina "energía", no necesita tener ningún significado físico. En particular, cada vez que surgen restricciones (y surgen restricciones, por ejemplo, cuando tenemos una teoría de calibre en el nivel del Lagrangiano), su significado debe ser cuidadosamente considerado. Además, la forma del hamiltoniano se puede cambiar cambiando nuestra descripción del sistema (principalmente ampliando el espacio de fase (introduciendo simetrías/restricciones de calibre) y reduciendo el espacio de fase (eliminando restricciones)), y por lo tanto "el hamiltoniano" no es un invariante de cualquier sistema físico.

Además, hablas de casos en los que se conserva el "Hamiltoniano". Algunos comentarios a eso: en el formalismo hamiltoniano, ser conservado significa tener cero paréntesis de Poisson con el hamiltoniano, ya que es el generador de la traducción del "tiempo" (ya sea que el parámetro de evolución sea tiempo físico o no), por lo que el hamiltoniano se conserva trivialmente. En el formalismo covariante,$p_0$es el generador de traslaciones de tiempo, pero el hamiltoniano es cero, por lo que también se conserva, ya que su paréntesis de Poisson con$p_0$es obviamente cero.

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^{1 Hasta aquí, esta discusión está tomada con bastante fidelidad del cap. 4.2 de "Cuantización de sistemas de calibre" de Henneaux/Teitelboim.}